则∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD, ∴∠OBE＋∠OBF＋∠OCF＋∠OCG＝180， 即∠OBF＋∠OCF＝90°， 则∠BOC＝180°－∠OBF－∠OCF＝90°. ∵MN∥OB， ∴∠NMC＝∠MOB＝180°－∠BOC＝90°， 即OM⊥MN,又∵OM是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线。 (2)如图所示，由（1）可得， 在Rt△OBC中，OF⊥BC，∠BOC＝90°。 由勾股定理得，则， ， 图d 即10OF＝48,故OF＝.∵OM＝OF＝， ∴MC＝OM＋OC＝。 由（1）知，∠OCB＝∠MCN，∠NMC∠BOC＝90°， 则△NMC∽△BOC，因此故。 ，即， 综上所述，⊙O的半径为，MN的长为. 3.（2018·湖北襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线， E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE． (1)求证：DA＝DE；

(2)若AB＝6，CD＝43，求图中阴影部分的面积．

解：（1）证明：连结OE，OC. ∵BN切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°.

∵OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，∴△OEC≌△OBC. ∴∠OEC＝∠OBC＝90°. ∴CD是⊙O的切线.

∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.

图5-3

（2）过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形. ∴AD＝BF，DF＝AB＝6. ∴DC＝BC＋AD＝43.

∵FC＝DC2?DF2?23. ∴BC－AD＝23. BC－AD＝23.∴BC＝33. 在Rt△OBC中，tan∠BOC＝

BC?3， BO图e

∴∠BOC＝60°. ∵△OEC≌△OBC，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°.

1120∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×BCOB－××OB2＝93－3.

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