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处切线l2的斜率k2＝－1,∴k1·k2＝－1,∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导,得y′＝恒大于0,斜率之
x积不可能为－1;对函数y＝ex求导,得y′＝ex恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y＝x3,得y′＝2x2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]
2.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年
B.2019年 C.2020年 D.2021年
2.B[设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x＝log1.12
200lg 2－lg 1.3＝≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.选B.] 130lg 1.12
3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
3.D [汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10 km,消耗1升汽油.故D正确.]
4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
p＋q?p＋1??q＋1?－1A. B. C.pq D.?p＋1??q＋1?－1
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4.D[设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2,解得x＝（1＋p）（1＋q）－1,故选D.]
5.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
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①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
2若对所有x,y∈[0,1],|f(x)－f(y)| 1111 5.B [不妨令0≤y 22421111111 －f(1)]－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝(1－x)＋y＝＋(y－x)<. 222222411 综上,|f(x)－f(y)|<,所以k≥.] 44 6.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekxb(e＝2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时. b??e＝192，4811 6.24 [由题意?22k＋b∴e22k＝＝,∴e11k＝, 19242?e＝48，? ＋ ∴x＝33 ＋ 时,y＝e33kb＝(e11k)3·eb＝ ?1?·eb＝1×192＝24.] ?2?8 3 7.(2015·江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别a 为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y＝2(其中a,b x＋b为常数)模型. (1)求a,b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域； ②当t为何值时,公路l的长度最短？求出最短长度. 7.(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). a 将其分别代入y＝2,得 x＋b ???a＝1 000， 解得? ?a?b＝0.? ?400＋b＝2.5， a ＝40，25＋b 1 000 (2)①由(1)知,y＝2(5≤x≤20), x1 000t，2?, 则点P的坐标为?t?? 2 000 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y′＝－3, x1 0002 000 则l的方程为y－2＝－3(x－t), tt3t??3 000? 由此得A??2，0?,B?0，t2?. 故f(t)＝②设 3?3t?＋?3 000?＝?2??t2?2 2 2 t2＋ 4×106 ,t∈[5,20]. t4 g(t)＝t2＋ 4×10616×106 ,则g′(t)＝2t－5. t4t 令g′(t)＝0,解得t＝102. 当t∈(5,102)时,g′(t)＜0,g(t)是减函数； 当t∈(102,20)时,g′(t)＞0,g(t)是增函数. 从而,当t＝102时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min＝300,此时f(t)min＝153. 答：当t＝102时,公路l的长度最短,最短长度为153千米. 8.(2014·湖北,14)设f(x)是定义在(0,＋∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,－f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).a＋b 例如,当f(x)＝1(x>0)时,可得Mf(a,b)＝c＝,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. 2(1)当f(x)＝________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数. 2ab (2)当f(x)＝________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数. a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) f（a）＋f（b） 8.(1)x (2)x [过点(a,f(a)),(b,－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a), a－baf（b）＋bf（a） 令y＝0得c＝. f（a）＋f（b） (1)令几何平均数ab＝(x>0)； af（b）＋bf（a） ?abf(a)＋abf(b)＝bf(a)＋af(b),可取f(x)＝xf（a）＋f（b） 2abaf（b）＋bf（a）ab＋baaf（b）＋bf（a） (2)令调和平均数＝?＝,可取f(x)＝x(x>0).] a＋bf（a）＋f（b）a＋bf（a）＋f（b） 9.(2014·山东,15)已知函数y＝f(x)(x∈R),对函数y＝g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I),y＝h(x)满足：对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________. 9.(210,＋∞) [函数g(x)的定义域是[－2,2],根据已知得 h（x）＋g（x） ＝f(x),所以h(x)＝ 2 2f(x)－g(x)＝6x＋2b－4－x2.h(x)>g(x)恒成立,即6x＋2b－4－x2>4－x2恒成立,即3x＋b>4－x2恒成立,令y＝3x＋b,y＝4－x2,则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可,由 |b| >2,解得b>210(舍去负值),故实数b的取值范围是(210,＋∞).] 10