4.(2014·辽宁,16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大345
时,-+的最小值为________.
abc
4.-2 [设2a+b=t,则2a=t-b,因为4a2-2ab+4b2-c=0,所以将2a=t-b代入整理可得6b2-3tb+t2-c=0①,由Δ≥0解得-代入①式得b=
8c≤t≤5
8c,当|2a+b|取最大值时t=5
8c,5
c3,再由2a=t-b得a=102
c34521041055
,所以-+=-+=-10abccccc2210?55?
=?-2?-2≥-2,当且仅当c=时等号成立.]
2c?c?
考点4 指数与指数函数
1.(2017·天津,6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),
b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ) A、a<b<c B、c<b<a C、b<a<c D、b<c<a
1.C 奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0, ∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.
2.(2017?北京,8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 , 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 , 则下列各数中与
最接近的是( )
(参考数据:lg3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
2. D 由题意:M≈3361 , N≈1080 , 根据对数性质有:3=10lg3≈100.48 , ∴M≈3361≈(100.48)361≈10173 , ∴ 3.(2014·辽宁,3)已知a=2?13≈ =1093 , 故选D.
11
,b=log2,c=log1,则( )
33
2
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
111
3.C[a=2-∈(0,1),b=log2∈(-∞,0),c=log1=log23∈(1,+∞),所以c>a>b.]
3332
4.(2015·山东,14)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1) 的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
3
4.- [当a>1时,f(x)=ax+b在定义域上为增函数,
2
1??a+b=-1,∴?0方程组无解; ?a+b=0,?
-
当0<a<1时,f(x)=ax+b在定义域上为减函数,
-1??a=2,?a1+b=0,3∴?0解得?∴a+b=-.]
2?a+b=-1,??b=-2.
5.(2014·上海,9)若f(x)=x-x 5.(0,1) [令y1=x,y2=x2
3
23?12,则满足f(x)<0的x的取值范围是________.
23
?12,f(x)<0即为y1
由图象知:当0
考点5 对数与对数函数
1.(2017?新课标Ⅰ,11)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z , 则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 1. D x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=
,y=
,z=
.
∴3y= =
.∴
,2x=
>lg
,5z= >
.∵ = = , >
>0.∴3y<2x<5z.故选D.
2. (2015·湖南,5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
2. A [易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,21+x
又f(x)=ln=ln?-1-x-1?,
??由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选1-xA.]
3.(2015·陕西,9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f?关系式中正确的是( )
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
a+b?1
,r=(f(a)+f(b)),则下列
2?2?
a+b
3.C[∵0<a<b,∴>ab,
2
又∵f(x)=ln x在(0,+∞)上为增函数,故f?
a+b??2?>f(ab),即q>p.
1
1111
又r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln a+ln b=ln(ab)2=f(ab)=p.
2222
故p=r<q.选C.]
4.(2014·福建,4)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )
4.B [因为函数y=logax过点(3,1),所以1=loga3,解得a=3,所以y=3x不可能过点(1,3),排除A;y=(-x)3=-x3不可能过点(1,1),排除C;y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除D.故选B.]
5.(2014·天津,4)函数f(x)=log1(x2-4)的单调递增区间为( )
2-
A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
5.D [函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=log1t与t=
2g(x)=x2-4复合而成,又y=log1t在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,
2
所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.选D.]
6.(2014·四川,9)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题: 2x
①f(-x)=-f(x);②f?1+x2?=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.
??
其中的所有正确命题的序号是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
6.A [f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故①正确;因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln
1+x
,1-x
2x1+
1+x22x?1+x?21+x2x??又当x∈(-1,1)时,2∈(-1,1),所以f1+x2=ln=ln?=2ln=2f(x),?2x1-x???1+x1-x?1-
1+x2故②正确;当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|?f(x)-2x≥0,令g(x)=f(x)-2x=ln(1+x)-ln(1-x)112x2
-2x(x∈[0,1)),因为g′(x)=+-2=>0,所以g(x)在区间[0,1)上单调递增,
1+x1-x1-x2g(x)=f(x)-2x≥g(0)=0,即f(x)≥2x,又f(x)与y=2x都为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确,故选A.]
5
7.(2016·浙江,12)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=______,b=______.
215
7.4 2 [设logba=t,则t>1,因为t+=,解得t=2,所以a=b2①,因此ab=ba?a2b
t2=ab2②,解得b=2,a=4.联立①②结合b>1,解得b=2,a=4.]
8.(2015·浙江,12)若a=log43,则2a+2a=________. 8.
??-x+6,x≤2,
9.(2015·福建,14)若函数f(x)=?(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实
?3+logax,x>2?
-
4334-
3 [2a+2a=2log43+2-log43=2log23+2log2=3+=3.] 3333
数a的取值范围是________.
??a>1,9.(1,2] [由题意f(x)的图象如图,则?
?3+log2≥4,?a
∴1<a≤2.]
10.(2014·重庆,12)函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为________.
1?21111?2
10.- [依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)+log2x=?log2x+2?-≥-,当且仅
4244111当log2x=-,即x=时等号成立,因此函数f(x)的最小值为-.]
242
考点6 函数与方程