第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

考点1 函数的概念

1.(2015·浙江，7)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )

A.f(sin 2x)＝sin x B.f(sin 2x)＝x2＋x C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|

ππ

1.D [排除法，A中，当x1＝，x2＝－时，f(sin 2x1)＝f(sin 2x2)＝f(0)，而sin x1≠sin x2，∴

22

2

A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x21＋1)＝f(x2＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，

∴C不对，故选D.]

??1＋log2?2－x?，x＜1，2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f(x)＝?x－1则f(－2)＋f(log212)＝( )

??2，x≥1，

A.3 B.6 C.9 D.12

2.C [因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，1－

f(log212)＝2log212－1＝2log212×21＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.]

2

3.(2014·山东，3)函数f(x)＝

1

的定义域为( )

?log2x?2－1

111

0，? B.(2，＋∞) C.?0，?∪(2，＋∞) D.?0，?∪[2，＋∞) A.??2??2??2?11

0，?3.C [(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0＜x<，故所求的定义域是??2?2∪(2，＋∞).]

4.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )

A.(0,1) B.[0,1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)

4.C [由题意可得x2－x>0，解得x>1或x<0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]

5.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1

5.A [因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]

6.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8

?

?x＋a－1，－a≤x≤－1，

26.D [当a≥2时，f(x)＝?

a?－3x－a－1，x<－，?2

aaa

－?＝－1＝3，可得a＝8； 如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f??2?223x＋a＋1，x>－，?2

?

a 当a<2时，f(x)＝?－x－a＋1，－1≤x≤－，2

??－3x－a－1，x<－1，

aaa

－?＝－＋1＝3，可得a＝－4. 如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f??2?22综上可知，答案为D.]

a

3x＋a＋1，x>－1，

图1 图2

?x－a?，x≤0，??

7.(2014·上海，18)设f(x)＝?1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )

x＋＋a，x>0.??xA.[－1,2] B.[－1,0] C.[1,2] D.[0,2]

7.D [∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，

1

∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最

x小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.]

8.(2016·江苏，5)函数y＝3－2x－x2的定义域是________.

8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x-x2≥0.解得-3≤x≤1.故函数定义域为[-3，1].]

2??x＋x－3，x≥1，

9.(2015·浙江，10)已知函数f(x)＝?则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值

??lg?x2＋1?，x＜1，是________.

2

2

9.0 22－3 [f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥22－3，当且仅当x＝2时，

x取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为22－3.]

考点2 函数的基本性质

1.（2017?北京,5）已知函数f（x）=3x﹣（ A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数

1.A 显然，函数的定义域为全体实数，f（x）=3x﹣（

）x=3x﹣3x ， ∴f（﹣x）=3

﹣

﹣x

）x ， 则f（x）（ ）

﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（ 函数f（x）=3x﹣（

）x为增函数，故选A．

）x为减函数，故

2.（2017?新课标Ⅰ,5）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，

则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ） A.[﹣2，2] B.[﹣1，1] C.[0，4] D.[1，3]

2. D ∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选D.

3.（2017?山东,10）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y= 且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ） A、（0，1]∪[2

，+∞）

+m的图象有

B、（0，1]∪[3，+∞） C、（0， D、（0，

）∪[2

，+∞）

]∪[3，+∞）

）为减函

3. B 根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， 数，（

，+∞）为增函数，函数y=

+m为增函数，

分2种情况讨论： ①当0＜m≤1时，有

≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2 ， 1]，

函数y= +m为增函数，其值域为[m，1+m]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②当m＞1时，有

＜1，

）为减函数，（

，1）为增函数，

y=（mx﹣1）2 在区间（0， 函数y=

+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，

解可得m≤0或m≥3， 又由m为正数，则m≥3；

综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选B．

4.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)＝x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)＝－f(x)；111

x＋?＝f?x－?，则f(6)＝( ) 当x>时，f??2??2?2A.－2

B.－1

C.0

D.2

111

x＋?＝f?x－?，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1， 4.D [当x>时，f??2??2?2∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)， ∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]

5.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x

－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，

b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 5.C[因为函数f(x)＝2|x

－m|

－1为偶函数可知，m＝0，

所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23， ∴log25＞|－log0.53|＞0，

∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]

6.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( )

A.y＝x B.y＝|sin x| C.y＝cos x D.y＝ex－e

－

－x

6.D [由奇函数定义易知y＝ex－ex为奇函数，故选D.]

7.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) 11

A.y＝x＋ex B.y＝x＋ C.y＝2x＋x D.y＝1＋x2

x2