事故树分析

小割集,仅对含有重复基本事件的割集化简即可。这里用N表示事故树的全部割集,N1表示含有重复基本事件的割集 ,N2表示不含重复基本事件的割集,N’ 表示全部最小割集。其步骤为:

①求出N, 若事故树没有重复的基本事件,则 N/=N; ②检查全部割集, 将 N 分成 N1 和 N2 两组; ③化简含有重复基本事件的割集N1为最小割集N1/; ④N/= N1/ ∪ N2 。 例题解答

[ 例 3-3] 用布尔代数法求图 3-12 所示事故树的最小割集。 解 :

①写出事故树的布尔表达式: T = G1 G2

= (X1+G3)(G4+X4) = (X1+X3X5)(G5X3+X4) = (X1+X3X5)[(X2+X5) X3 + X4] ②化布尔表达式为析取标准式 :

T=X1X2X3 + X1X3X5 + X1X4 + X2X3X3X5 + X3X5X5X3 + X3X4X5 = X1X2X3 + X1X3X5 + X1X4 + X2X3X5 + X3X5 + X3X4X5 ③用素数法或分离重复法求最简析取标准式: T=X1X2X3 + X1X4 + X3X5

即该事故树有三个最小割集:{ X1, X2, X3} , { X1, X4}, { X3, X5}。

根据最小割集的定义, 原事故树可以化简为一个新的等效事故树,如图 3- 13 所示。在以后计算顶事件发生概率时, 必须按化简后的布尔代数表达式进行计算。

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2) 行列法

该方法是富塞尔 (J.B.Fussell) 和文西利 (W.E.Vssely) 于1972年提出的, 又称下行法或富塞尔算法。该法的理论依据是: 事故树 “或门” 使割集的数量增加,而不改变割集内所含事件的数量; “与门” 使割集内所含事件的数量增加,而不改变割集的数量。求取最小割集时,首先从顶事件开始,顺序用下一事件代替上一层事件,在代换过程中,凡是用 “或门” 连接的输入事件, 按列排列,用 “与门” 连接的输入事件,按行排列;这样,逐层向下代换下去,直到顶事件全部为基本事件表示为止。最后列写的每一行基本事件集合,经过简化,若集合内元素不重复出现,且各集合间没有包含的关系,这些集合便是最小割集。 [ 例 3-4] 用行列法求图3-12所示事故树的最小割集。 解: 定义顶事件为T, 具体步骤为(见表 3-6): ①将用与门连接的T的输入事件G1,G2 按行排列。

②事件G1是用或门连接的输入,将输入事件X1 、G3按列排列置换G1。 ③事件G2是用或门连接的输入,将输入事件G4 、X4按列排列分别置换G2 。 ④ X1、X4为基本事件不再分解。事件G4 、G3均是用与门连接的输入,将输入事件G5 、X3 与 X3、X5 按行排列分别置换G4 与 G3。

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⑤ X1、X3、X5为基本事件不再分解。事件G5是用或门连接的输入,将输入事件X2 、X5按列排列置换G5。

⑥进行布尔等幂、吸收运算, 求得最小割集。

运算结果表明,有三个最小割集: { X1，X2，X3 }，{ X1， X4 }，{ X3，X5 }。

3) 矩阵法

1974年富赛尔 (J.B.Fussell) 、亨利 (E.B.Henry) 和马斯鲍尔 (N.H.Marsball) 提出了一种求最小割集的程序--MOCUS, 该程序采用的算法原理上与行列法相似。为了能在计算机上实现,将行列代换过程用一个二维表--矩阵的变换来代替,矩阵法的解题步骤是:首先求出割集矩阵,然后利用布尔代数化简求出最小割集并上机计算。

(l)矩阵大小的确定。用计算机求矩阵,首先计算矩阵的大小,即矩阵包含的行列数。现定义矩阵为 CMm╳n ,这个矩阵的每一行就是事故树的一个割集或径集。假定第i门的第j个输入用变量元Xi , j 表示, 则根据门i的类型,如果求割集矩阵 CMm╳n 的行数 m, 则 可按下式计算:

如果求径集矩阵，则：

式中 i -- 门的编号或代码;

λi -- 第 i个门输人事件的数量;

X i, j ---- 第i个门的第j个输λ变量(j=1,2, ? ,λi ), 当输入变量是基本事件时, Xi, j=1; 当输入变量是门 K 时, Xi, j=Xk;

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X i ---- 门i的变量, 如果门i是紧接顶事件T的门,则X i= X T即为矩阵 CMm╳n 的行数 m。

矩阵的列数就是某个割集或径集所含事件的最多数目。设第i门的第j个输入变量用Y i, j表示, 根据门 i 的类型, 按下式计算割集矩阵 CMm╳n 列数 n;

如果求径集矩阵, 则:

式中 Y i, j---- 第i个门的第j个输入变量(j=1,2, ?λ件时,Y i, j =1;

当输入是门 K 时,Yi,j =YK.

i

,),当输入是基本事

Y i, j---- 门 i 的变量, 如果门i是紧接顶事件T的门,则Y i =YT 即为矩阵 CMm╳n 的列数 n。

(2) 求割集矩阵CMm╳n .为了运算方便, 现规定以下符号: W ---- 事故树中门的名称 ;

λw ---- W门的输入门或基本事件的数量 ; CM(X,Y) ----矩阵第 X 行第 Y 列的元素的变量; Xmax----代换过程中前面已用过的最大的行数;

Ymax----当前被代换的门或事件所在行中已用过的最大的列数。 这样用以上规定的符号就可完全表达计算事故树割集所需的输入信息。 求割集矩阵的步骤是: 首先在矩阵的第一行第一列,即 CM(1,1) 位置上写上顶事件T下的第一个门的名称; 然后按下述规则代换,直到全部基本事件代换了顶事件为止,这时,矩阵中的每一行即为所求的割集。其替换规则如下:

规则 1: 设在割集矩阵 CM (X,Y) 位置上是门 W, 则在该位置上以门 W 的第一个输入替代, 即:

CM(X,Y) = Pw,1 (3-9)

该输入可以是门,也可以是基本事件,门 W 下的第 2,3, ?λw,个输入的位置,由门W的类型决定。

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