事故树分析
即：
根据容斥定理得并事件的概率公式:
故顶事件的发生概率为：
式中 Pr -- 最小径集 (r=1,2, ?,k) r 、 s -- 最小径集的序数,r < s; k -- 最小径集数;
(1-qi)-- 第 i 个基本事件不发生的概率;
xi �Pr -- 属于第 r 个最小径集的第 i 个基本事件 ; xi �Pr UPs--属于第 r 个或第s个最小径集的第 i 个基本事件。 例题解答
[ 例 3-8] 以图3-12事故树为例, 试用最小割集法、最小径集法计算顶事件的发生概率。
解: 该事故树有三个最小割集:
E1={X1, X2, X3,}; E2={X1, X4}; E3={X3, X5} 事故树有四个最小径集:
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P1={X1, X3,}; P2={X1, X5}; P3={X3, X4}; P3={X2, X4, X5} 设各基本事件的发生概率为:
q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05 由式(3-18)得顶事件的发生概率:
P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4- q1q2q3q4q5- q1q3q4q5- q1q2q3q5q3+ q1q2q4q3q5 代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。 由式 (3-19) 得顶事件的发生概率:
P(T)=1-[(1- q1)(1- q3)+(1- q1)(1- q5)+(1- q3)(1- q4) +(1- q2)(1- q4)(1- q5)] +(1- q1)(1- q3)(1- q5)+(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q3)(1- q5) +(1- q1)(1- q3)(1- q4) +(1- q1)(1- q2)(1- q4)(1- q5) +(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) -(1- q1)(1- q2)(1- q3)(1- q4)(1- q5) =0.001904872
在上述三种顶事件发生概率的精确算法中, 后两种相对较简单。一般来说, 事故树的最小割集往往多于最小径集, 所以最小径集法的实用价值更大些。但在基本事件发生概率非常小的情况下, 由于计算机有效位有限。(1- qi)的结果会出现较大误差, 对此应引起注意。从后两种方法的计算项数看,两式的和差项数分别为(2k-1) 与2k 项。当k足够大时, 就会产生 “组合爆炸”问题。如k=40, 则计算P(T)的式(3-18)共有 240-1=1.1×1012, 每一项又是许多数的连乘积, 即使计算机也难以胜任。解决的办法就是化相交和为不交和, 再求顶事件发生概率的精确解。
4.化相交集为不交集求顶上事件发生概率
某事故树有k个最小割集: El, E2, ? ,Er, ? ,EK, 一般情况下它们是相交的, 即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs 为相交集合 ,Er + ErEs 为不相交集合, 如图 3-16 所示。
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亦即 Er U Es =Er + Er,Es (3-20) 式中 U -- 集合并运算 ; + -- 不交和运算。 所以有:
P(Er U Es)= P(Er)+P(Er,Es) 由式 (3-20) 可以推广到一般式:
当求出一个事故树的最小割集后, 可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-21) 将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时, 利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。而用以下不交积之和定理可以简化计算, 特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优越性。 不交积之和定理:
命题 1 集合 Er 和 Es 如不包含共同元素 , 则应 Es 可用不交化规则直接展开。
命题 2 若集合 Er 和 Es 包含共同元素, 则
式中 ,Er←s 表示 Er 中有的而 Es 中没有的元素的布尔积。
命题 3 若集合 Er 和 Et 包含共同元素 ,Es 和 Et 也包含共同元素, 则:
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命题 4 若集合 Er 和 Et 包含共同元素,Es 和 Et 也包含共同元素, 而且Er←tсEs←t,则：
例题解答
[ 例 3-9] 以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化运算, 计算顶事件的发生概率。 解：事故树的最小割集为:
根据式(3-21) 和命题1、命题3, 得:
设各基本事件的发生概率同前, 则顶事件的发生概率为:
P(T) = q1q4 + (1- q1)q3q5 + q1q3(1- q4)q5 + q1q2 q3(1- q4) (1- q5) = 0.001904872
与前面介绍的三种精确算法相比,该法要简单得多。读者也可与直接不交化算法比较其运算过程。 5.顶事件发生概率的近似计算
如前所述, 按式(3-48) 和(3-19)计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题, 即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和, 计算量也是相当大的。但在许多工程问题中, 这种精确计算是不必要的, 这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此, 用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以, 实际计算中多采用近似算法。
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