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∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确； 连接OP，
=
==4，
∴AC=PC，PA=PC， ∴
=3，
∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④． 故选C．
【总结升华】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 举一反三：
【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：根据题意得：当点P在ED上运动时，S=BC?PE=2t；
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当点P在DA上运动时，此时S=8；
当点P在线段AB上运动时，S=BC（AB+AD+DE﹣t）=5﹣t； 结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．故选B．
类型三、函数与几何综合题
5．如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB
k(x?0)的图象与边BC交于点F. x（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求k的值；
上的—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数y?（2）若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?
【思路点拨】 （1）设E（x1，
kkk），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2= ，
x2x12利用S1＋S2=2即可求出k. （2）设E(
kk，2)， F(4，)，利用S24四边形OAEF
=S
矩形OABC
－S△BEF－S△OCF=?12?k?4??5，根据二次函数的16最值即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5. 【答案与解析】
解：（1）∵点E、F在函数y?∴设E（x1，
k(x?0)的图象上， xkkx），F（2，），x1＞0，x2＞0，
x2x11kk1kk∴S1=?x1??，S2=?x2??.
2x122x22∵S1＋S2=2，∴
kk??2.∴k?2. 22kk，2)， F(4，). 24（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(∴BE=4－
kk，BF=2－. 24资料来源于网络 仅供免费交流使用
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1?k??k?121kk∴S△BEF= ??4????2???k?k?4，S△OCF= ?4??，S矩形OABC=2×4=8，
2?2??4?16242∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF= 8－(=?121kk?k?4)－?k2??4 1616212?k?4??5. 16∴当k=4时，S四边形OAEF=5.∴AE=2.
∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.
【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.
6．（2015?宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数 y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于 点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t的值．
【思路点拨】
（1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果． 【答案与解析】
解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得： k=1×8=8，y=，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
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根据题意得：解得：k=，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3； 设M（t，），N（t，t﹣3）， 则MN=﹣t+3，
∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t+t+4=﹣（t﹣3）+∴△BMN的面积S是t的二次函数， ∵﹣＜0， ∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c， 把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17， 解方程组
得：
或
（舍去）， ；
2
2
，
，
∴M的坐标为（，16）， ∴t=．
【总结升华】
本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强．
7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛
2
物线y=﹣x+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当t=
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
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