由

得GS法收敛得充要条件是

6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)

精确解

，要求当

时迭代终止，并

对每一个ω值确定迭代次数

解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取若取

，当，迭代6次得

7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使

时，迭代5次达到要求

那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

解：J法的迭代矩阵为

，故

最优松弛因子

，因A为对称正定三对角阵，

J法收敛速度

由于

，故

若要求

对于J法对于GS法对于SOR法8. 填空题

，取K＝15 ，取K＝8 ，取K＝5

，于是迭代次数

(1)要使应满足（）.

，则解此方程组的

(2) 已知方程组

Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）. (3) 设方程组Ax=b,其中阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）. (4) 用GS法解方程组

方法收敛的充要条件是a满足（）. (5) 给定方程组

,a为实数.当a满足，其中a为实数，其J法的迭代矩

（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛. 答: (1)

(2)J法是收敛的，

(3)J法迭代矩阵是(4)满足(5)满足

，GS法迭代矩阵

第七章 非线性方程求根

习题七

1. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05

。本题

解 使用二分法先要确定有根区间

f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

其误差

2. 求方程

在=1.5附近的一个根，将方程改

写成下列等价形式，并建立相应迭代公式. (1) (2) (3)

，迭代公式,迭代公式，迭代公式

. . .

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根 解：（1）取区间在

且

，在

中

且

，

，则L<1，

满足收敛定理条件，故迭代收敛。