（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）6cm. 【解析】

分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE． （2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.

详解：（1）证明：∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 在Rt△AEF和Rt△DEC中，

∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC． ∴△AEF≌△DCE． （2）解：∵△AEF≌△DCE． AE=CD． AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32cm， ∴2（AE+AE+4）=32． 解得，AE=6（cm）． 答：AE的长为6cm．

点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．

10．在VABC中，?ABC?90o，BD为AC边上的中线，过点C作CE?BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG?BD，连接BG，DF．

?1?求证：BD?DF；

?2?求证：四边形BDFG为菱形；

?3?若AG?5，CF?7，求四边形BDFG的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 【解析】 【分析】

?1?利用平行线的性质得到?CFA?90o，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半即可得证，

?2?利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用?1?得结论即可得

证，

?3?设GF?x，则AF?5?x，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关

系，解出x即可． 【详解】

?1?证明：QAG//BD，CF?BD，

?CF?AG，

又QD为AC的中点，

1?DF?AC，

21又QBD?AC，

2?BD?DF，

?2?证明：QBD//GF，BD?FG，

?四边形BDFG为平行四边形，

又QBD?DF，

?四边形BDFG为菱形，

?3?解：设GF?x，则AF?5?x，AC?2x，

在RtVAFC中，(2x)2?(7)2?(5?x)2， 解得：x1?2，x2??16(舍去)， 3?GF?2，

?菱形BDFG的周长为8．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．

11．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】

试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x=

x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+

，推出BN=

x）2，解得

，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.

试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2． 理由：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°， ∴AM=BM=2x，MN=

x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+解得x=∴BN=

x）2， ， ，

．

∴BG=BN÷cos30°=

考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质

12．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣点B．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标 （3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

3）两点，与x轴交于另一2

【答案】（1）y=形．证明见解析 【解析】 【分析】

123x+x﹣；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱22将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式； 根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由