∴∠DBC＝∠DBA， ∵DM⊥AB，DC⊥BC， ∴DM＝DC，

∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD， ∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL）， ∴BM＝BC＝3，

∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝

＝5，

∴AM＝5﹣3＝2，设AD＝x，则CD＝DM＝4﹣x， 在Rt△ADM中，则有x2

＝（4﹣x）2

+22

， 解得x＝． ∴AD＝．

②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°， ∴∠DBC＝β＝∠A， ∵∠C＝∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴BC2

＝CD?CA， ∴CD＝，

∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝． 故答案为或．

21．解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′∴△ACB≌△AC′B′，

∴AC＝AC′，CB＝C′B′，∠CAB＝∠C′AB′，

′，- 25 -

C ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵∠CAC′＝15°， ∴∠C′AE＝30°， ∴AE＝2C′E，AC′＝C′E，

∵阴影部分面积为2，

∴×C′E×C′E＝2

，

∴C′E＝2， ∴C′B′＝AC'＝C′E＝2，

∴B′E＝2﹣2， 故答案为：2

﹣2．

22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，

∴BE+CF＝

BC，故①正确；

∵AE+AF≥EF， ∴AF+CF≥EF， ∴AC≥EF，

BC＝AB，- 26 -

∴AD≥EF，故②错误；

∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE＝S△CDF，

∴S2

四边形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD，故③正确； ∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC， ∴当AE＝AF时，S△AEF的最大值＝S△ABC， ∴S△AEF≤

，故④正确，

故答案为：①③④ 三．解答题（共8小题） 23．解：（1）CM＝AN+MN，

理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OA＝OC，

在△CDO和△ANO中，

，

∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∵∠MON＝60°， ∴∠COD+∠AOM＝60°， ∵∠AOC＝120°， ∴∠DOM＝60°， 在△DMO和△NMO中，

- 27 -

，

∴△DMO≌△NMO， ∴DM＝MN，

∴CM＝CD+DM＝AN+MN； （2）补全图形如图2所示：

CM＝MN﹣AN，

理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接在△CDO和△ANO中，

，

∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∴∠DOM＝∠NOM， 在△DMO和△NMO中，

，

∴△DMO≌△NMO（SAS） ∴MN＝DM，

∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．

OD，- 28 -