我们来比较(arbs)K与(ar'bs')K.当r?r'时,由于bsK?H,bs'K?H,因此
(arbs)K?(ar'bs')K?arH?ar'H??,从而,(arbs)K?(ar'bs')K??.即(arbs)K与(ar'bs')K不相交.当r?r'且s?s'时,bsK?bs'K??,从而,
(arbs)K?(ar'bs')K?(ar'bs)K?(ar'bs')K
?ar'(bsK?bs'K)?ar'???,
即(ar'bs)K与(ar'bs')K不相交.所以(?)式中的诸(arbs)K两两不相交.这样一来,根据(?)式可以断言,[G:K]?mn,即
[G:K]?[G:H][H:K].
8.设G是群,C(G)是G的中心,N≤G,且N?C(G),证明: (1)N?G;
(2)若G/N是循环群,则G是交换群.
证明 (1)由于N?C(G),因此an?na,?a?G,n?N.由此可见,aN?Na,?a?G.这样,由N≤G可以断言N?G.
(2)假设G/N是循环群.这时,存在a?G,使得
G/N?(aN)?{akN|k?Z}.
设x,y是G的任意两个元素.于是,存在j,k?Z,使得x?ajN,y?akN.因此存在
m,n?N,使得
x?ajm,y?akn.
这样一来,注意到N?C(G)和m,n?N,我们有
xy?ajmakn?ajakmn?akajmn?akajnm?aknajm?yx.
这就是说,xy?yx,x,y?G.所以G是交换群. 9.设G是一个群,H≤G,K≤G,证明:
HK≤G?HK?KH.
证明 假设HK≤G.于是,对于任意的a?G,我们有
a?HK?a?1?HK
?存在h?H和k?K,使得a?1?hk ?存在h?H和k?K,a?k?1h?1 ?a?KH.
所以HK?KH.
假设HK?KH.为了证明HK是G的子群,任意给定a,b?HK.于是,存在
h1,h2?H和k1,k2?K,使得a?h1k1,b?h2k2.因此
ab?1?(h1k1)(h2k2)?1?(h1(k1k2))h2.
?1由于h1(k1k2)?HK?KH,因此存在h3?H和k3?K,使得h1(k1k2)?k3h3,从而,
?1?1?1ab?1?(h1(k1k?12))h2?(k3h3)h2?k3(h3h2)?KH?HK.
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?1这样一来,由于a,b?HK的任意性,我们断言:HK≤G.
10.设G是群,a,b?G.a?1b?1ab称为a,b的换位元,记作[a,b].由G的全体换位元生成的子群称为G的换位子群,记作G'.证明: (1)G'?G; (2)G/G'是交换群;
(3)若N?G,则G/N是交换群?G'≤N. 注: 换位元又称换位子.
证明 (1)给定x?G,y?G'.显然xyx?1y?1是x?1,y?1的换位元,因此xyx?1y?1?G',从而xyx?1?(xyx?1y?1)y?G'.所以G'?G.
(2)对于任意的x,y?G,我们有(xy)(yx)?1?xyx?1y?1?G',从而,G'(xy)?G'(yx),即
(G'x)(G'y)?(G'y)(G'x).所以G/G'是交换群.
(3)设N?G.我们有
G/N是交换群?(Nx)(Ny)?(Ny)(Nx),?x,y?G
?N(xy)?N(yx),?x,y?G ?(xy)(yx)?1?N,?x,y?G ?xyx?1y?1?N,?x,y?G
?G'?N,即G'≤N.
11.设p,q是两个不同的素数,G是交换群,且|G|?pq,证明:G是循环群. 证明 根据Lagrange定理的推论,G的元素的阶只可能是1,p,q和pq.
现在我们来证明G中不可能有pq?1个p阶元素.首先,我们注意,由于p是素数,当(a)为G的p阶循环子群时,(a)中有p?1个p阶元素.其次,设(a)和(b)都是G的p阶子群.根据定理2.39,|(a)?(b)||p2.由此可见,或者|(a)?(b)|?1,即(a)?(b)?{e};或者|(a)?(b)|?p,即(a)?(b).这就是说,G的不同的p阶子群包含的p阶元素也不同.这样一来,由于p,q是两个不同的素数,从而,p?1不能整除pq?1,我们可以断言,G中不可能有pq?1个p阶元素. 同理,G中也不可能有pq?1个q阶元素.
这样一来,G中必有pq阶元素,从而,G是循环群.这因为,若不然,G中必有p阶元a和q阶元素b.由于G是交换群,p和q互素,ab便是pq阶元素.这是一个矛盾. 12.证明:从同构意义上说,10阶群只有两个. 证明 设G是10阶群,e为G的单位元.
由上题知,当G是交换群时,G是循环群.这时,G?(Z10,?).
下面讨论G是非交换群的情形:由上题知G中没有10阶元素.由上题的证明知,G中必有2阶元数和5阶元数.不妨设a,b分别为G中的2阶元数和5阶元数.于是
(a)?(b)?{e},从而,
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|(a)||(b)|?10.
|(a)?(b)|根据定理2.39,我们有
G?(a)(b)?{e,a,b,b2,b3,b4,ab,ab2,ab3,ab4}.
考察元素ba:显然,ba?{ab,ab2,ab3,ab4}.假如ba?ab,则由(|a|,|b|)?(2,5)?1可以推得|ab|?10.这与G中没有10阶元素的事实不符.因此ba?ab.假如ba?ab2,则
aba?b2.注意到a2?e,我们还有
b?ab2a?a(ab2a)2a?a2b4a2?b4.
这与事实不符.因此ba?ab2.假如ba?ab3,则aba?b3.注意到a2?e,我们还有
b?ab3a?a(ab3a)3a?a2b9a2?b4
这仍与事实不符.这样一来,必有ba?ab4.
反复利用上式可以得到群G的乘法表如下:
· e a b b b b ab ab ab ab 424e e a b b b b ab ab ab ab 424a a e ab ab ab ab b b b b 24b b ab b b b e ab ab ab a 42b b ab b b e b ab ab a ab 422b b ab b e b b ab a ab ab 2423b b ab e b b b a ab ab ab 3244ab ab b a ab ab ab e b b b 242ab ab b ab a ab ab b e b b 3422ab ab b ab ab a ab b b e b 4243ab ab b ab ab ab a b b b e 2443323423442342322334423324234333333333由以上讨论可知,任何10阶的非交换群都与我们这里的10阶的非交换G群同构.
注：这里顺便指出,当n?5时,由(12)和(12345)这两个n次置换生成的n次置换群是10阶的非交换群,从而,任何10阶的非交换群都与这个置换群群同构. 13.设G是有限群,N≤G,且[G:N]等于|G|的最小素因数,证明:N?G. 证明 设|G|?m,并且假定p为m的最小素因数.于是,
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[G:N]?p,|N|?m. p现在任取a?G,我们来证明aNa?1?N.
事实上,当a?N时,显然aNa?1?N.因此只需考虑a?N的情形.为此,假设a?N.
m?1?1由§2.6习题第6题知aNa≤G,并且aNa?N.因此|aNa?1|?|N|?.考察
pm?111N?(aNa):因为N?(aN?a)≤N,所以|N?(aN?a)|是的因数,从而
pmmmm是的因数.由于是的因数,因此也是m的因数.m?1?1p|(N?(aNa))|p|N?(aNa)|ppmm?1?p.又因为p为m的最小素因数,所以,或者,或者?1?1p|N?(aNa)|p|N?(aNa)|另外,根据定理2.39,我们有
|N||aNa?1|m2?1|N(aNa)|??.
|N?(aNa?1)|p2|N?(aNa?1)|m?1|N(aNa)|?m,从而, ?p假如,则由上式可知,?1p|N?(aNa)||N(aNa?1)|?m,
即N(aNa?1)?G.于是,存在b,c?N,使得baca?1?a,从而,a?b?1c?1?N.这与我们
m?1.这样一来,我们有 的假设a?N矛盾.所以
p|N?(aNa?1)|m|N?(aNa?1)|??|N|.
p由此可知aNa?1?N.
综上所述,对于任意的a?G,我们有aNa?1?N.所以N?G.
14.设G是群,Inn(G)是G的全体内自同构组成的集合,证明:Inn(G)?Aut(G),并且Inn(G)?G/C(G).
证明 §2.6中已经指出,G的全体自同构组成的集合Aut(G)关于映射的合成作成一个群,称为G的自同构群.显然G的全体内自同构组成的集合Inn(G)是Aut(G)的非空子集.对于任意的a?G,我们将由a确定的群G的内自同构记作?a,即
?a(x)?axa?1,?x?G.
由G的单位元e确定的群G的内自同构?e就是单位自同构,它是群Aut(G)的单位元.
根据定义,对于任意的a,b?G,我们有
(?a?b)(x)?a(bxb?1)a?1?(aa?1)x(ab)?1??ab(x),?x?G,
(?a?a?1)(x)?a(a?1xa)a?1?x??e(x),?x?G.
也就是说,?a?b??ab?Inn(G);?a?a?1??e.这就表明,Inn(G)关于映射的合成封闭,并且Inn(G)中每一个元素?a有逆元?a?1.因此Inn(G)≤Aut(G).
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对于任意给定的??Aut(G)和a?G,我们有
(??1a??1)(x)??(a??(x)a?1)??(a)x?(a?1)
??(a)x(?(a))?1???(a)(x),?x?G,
从而,???1a????(a)?Inn(G)Inn(G).因此Inn(G)?Aut(G). 最后,定义G到Inn(G)的映射f如下:
f(a)??a,?a?G.
显然f是满射.由于
f(ab)??ab??a?b,?a,b?G,
因此f是满同态.另外,对于任意的a?G,我们有
a?Kerf?f(a)??1e??a??e?axa??x,?x?G
?ax?xa,?x?G?a?C(G).
因此Kerf?C(G).这样一来,根据同态基本定理可以断言,Inn(G)?G/C(G). 41