命题逻辑的推理

1． 判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结

构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：

（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。

（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。

（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。

（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。

（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。

（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。

2． 构造下面推理的证明：

（1）前提：p→(q→r), p, q 结论：r∨s

（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r 结论：┐p

（3）前提：p→q 结论：p→(p∧q)

（4）前提：q→p, qs, st, t∧r 结论：p∧q

（5）前提：p→r, q→s, p∧q 结论：r∧s

（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q 结论：t→(r∨s)

3． 用附加前提法证明下面各推理：

（1）前提：p→(q→r), s→p, q 结论：s→r

（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u 结论：p→u

4． 用归谬法证明下面推理：

（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s 结论：┐p

（2）前提：p∨q, p→r, q→s 结论：r∨s

5． 构造下面推理的证明。

（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。

（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。

答案

1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。

（1）推理的形式结构为 (p→r)∧p→r

此形式结构为重言式，即 (p→r)∧pr 所以推理正确。

（2）推理的形式结构为 (p→q)∧q→p

此形式结构不是重言式，故推理不正确。

（3）推理形式结构为 (p→r)∧┐r→┐p

此形式结构为重言式，即 (p→r)∧┐r┐p 故推理正确。

（4）推理形式结构为 (p→q)∧┐p→┐q

此形式结构不是重言式，故推理不正确。

（5）推理形式结构为 p→(q∨r)

它不是重言式，故推理不正确。

（6）推理形式结构为 (pr)∧┐p→┐r

此形式结构为重言式，即 (pr)∧┐p┐r 故推理正确。

推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、 等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。 下面用构造证明法证明（6）推理正确。

前提: pr, ┐p 结论: ┐r 证明: ① pr 前提引入 ② (p→r)∧(r→p) ①置换 ③ r→p ②化简律 ④ ┐p 前提引入

⑤ ┐r ③④拒取式

所以，推理正确。 2．

（1）证明：

①p→(q→r) ②p ③q→r ④q ⑤r ⑥r∨s

前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④假言推理 ⑤附加律

（2）证明：

①┐(q∧r) ②┐q∨┐r ③r ④┐q ⑤p→q ⑥┐p

前提引入 ①置换 前提引入 ②③析取三段论 前提引入 ④⑤拒取式

（3）证明：

①p→q ②┐p∨q

③(┐p∨q)∧(┐p∨p) ④┐p∨(p∧q) ⑤p→(p∧q)

前提引入 ①置换 ②置换 ③置换 ④置换

也可以用附加前提证明法，更简单些。

（4）证明：

①st 前提引入 ①置换 ②化简

②(s→t)∧(t→s) ③t→s