2l； v?2lv?（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为t2?2； 2v??u（1）假定空气是静止的（即u＝0），飞机往返飞行时间为t1?（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为t3?试证：由速度关系 v = u + v? （1）u＝0时，飞机往返飞行时间为 t1?2lv??u22。

ll2l?? v?v?v?l ?v?u（2）空气相对地面的速度为u向东，从A ? B 所需时间为从B ? A 所需时间为

l v??ull2lv???2 v??uv??uv??u2u

v

v

B

所以，飞机往返飞行时间为 t2?（3）空气相对地面的速度为u向北，如图2－21所示，

u A

v?

( a )

v?

( b )

习题 2－21

从A ? B，飞机相对地面的速度为v?v?2?u2；从B ? A飞机相对地面的速度的大小2l?v

与从A ? B等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为

t3?2lv??u22

9

第3章 牛顿定律及其内在随机性

3-1 一木块能在与水平面成? 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsinθ）。

解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为x轴正向，

N N

下滑 mgsin??Ff?0 （1） f 上滑 ?mgsin??Ff?ma （2） 由式（2）知，加速度为一常量，有

2 v2?v0?2as （3）

22v0v0解上述方程组，可得木块能上滑的距离 s?? ?2a4gsin??1f

mg 上滑

mg 下滑

3-2 在一水平直路上，一辆车速v?90km?h的汽车的刹车距离为s = 35 m 。如果路面相同，只是有1?10的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？

v2解： 在水平路上?k为定值，则 ??kmg?ma ，而 a??

2sv2所以 ?k?

2gs设斜面夹角为?，刹车距离为s?，加速度为a?，则 mgsin???kmgcos??ma?

v2?v2所以 s??? ?2a?2(gsin???kcos?)代入已知数值，注意sin? = 0.1 ,可得 s??39.5m

3-3 如图所示，质量m = 0.50kg的小球挂在倾角??30的光滑斜面上。 （1）当斜面以加速度a = 2.0m/s2水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球将脱离斜面？

解：(1)对小球 x向： Tcos??Nsin??ma y向： Tsin??Ncos??mg?0 可得

T?m(acos??gsin?)?0.5?(2?cos30?9.8sin30)?3.32N N?m(gcos??asin?)?0.5?(9.8?cos30?2sin30)?3.75N 小球对斜面的压力 N??N?3.75N

oooooN

T

mg

10

（2）小球刚要脱离斜面时N = 0，则 Tcos??ma， Tsin??mg 由此二式可解得 a?g/tan??9.8/tan30o?17.0m/s2

3-4 在水平面上一辆汽车以速率v行驶，当汽车与前面一堵墙相距为d时，司机才发现自己必须制动或拐弯。设车辆与地面之间的静摩擦系数为?s .问若司机制动停车（不拐弯），他需要的最小距离d1为多大？若他不制动而作90o拐弯（作圆弧形行驶），他需要的最小距离d2又有多大？哪种办法最安全？

解：汽车制动时，受到摩擦力作用，作匀减速直线运动，在拐弯情况下，汽车作圆周运动，摩擦力提供向心力。通过求出两种情况下汽车制动的距离，比较可以知道第一种方法更安全。

设汽车质量为m加速度为a，则在制动时有 ??smg?ma ，?v2?2ad1 所以 d1?v2/2?sg

v2若不制动而拐弯，则有 ?s?mg?m

d2v2所以 d2?

?sg由于d1< d2 可知制动安全。 3-5 月球的质量是地球的

13，月球的半径为地球半径的 。不计自转的影响，试计8111算地球上体重600N的人在月球上时体重多大？

解： 因为地球上人体重为 mge?mGMe?600N 2re1MeMm81所以月球上体重为 mgm?mG2?mG 2rm?3??re??11? ?mGme121121??mg??99.6N e2729re7293-6 一枚质量为3.03×103kg的火箭，放在与地面成58.0°倾角的发射架上，点火后发

动机以恒力61.2 kN作用于火箭，火箭轨迹始终与地面成 58.0°的夹角。飞行48.0s后关闭发动机，计算此时火箭的高度及距发射点的距离（忽略燃料质量和空气阻力）。

解 Fcos??max?m

dvx dt?v0mdvx??Fco?sdt

0t?x0mdx??4801Fcos?2t?1.23?104m Fcos?tdt x?axt2?22m11

同理 Fsin??mg?may?mdvydt

?v0mdvy??(Fsin??mg)dt

0t mvy?(Fsin?mg)t y??y0dy??(Fsin??mg)tdt

0481Fsin??mg2ayt2?t?8.44?103m 22mx2?y2?1.49?104m

火箭距发射点O的距离为 s?3-7 在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的物体A以初速度为

v0靠圆环内壁作圆周运动，物体与环壁的摩擦系数为?，试求物体A任意时刻的速率v？

解：选取自然坐标, 切向 mdv??f dtN v2dvv2?N，而 f??N ，所以 ???法向m

m RRdt由上式得

tdv????v0v2?0Rdt vf

则 v?v0 ?v01?tR3-8 光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦因数为? 。开始时物体的速率为v0 ,求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到

1v0时，物体所经历的时间及经过的路程。 2dvmv2解： (1)取自然坐标，有 FN?man?， Ff?mat??m

dtRv2dv??摩擦力的大小Ff??FN，由上述各式可得 ? Rdt取初始条件t = 0时v = v 0 , 并对上式积分

?t0dt??Rdv ?2v0?vv所以 v?Rv0

R?v0?t1Rv0时，由上式可得 t?? 2?v0（2）当物体的速率从v 0减少到

物体在这段时间内所经过的路程 s??t?0vdt??t?0Rv0dt

R?v0?t 12