陕师大《大学物理学》(上册 - )习题解答 下载本文

所以 r?4ti?8t2j (2)任意时刻 v?drdv?4i?16tj; a??16j dtdt由x?4t和x = 2,可得 t = 0.5 s

所以,当质点位于x = 2.0 m时,其速度 v?4i?8j ,加速度 a?16j

2-10 一汽艇以速率v0沿直线行驶。发动机关闭后,汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a??kv,其中k为常数。试求发动机关闭后,(1)任意时刻

t汽艇的速度;(2)汽艇能滑行的距离。

解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。

vdvtdv??kv ,???k?dt 10.(1)∵a?v0v0dt∴v?v0e?kt (2)∵

0sdvdvdsdv??v??kv,?dv??k?ds

v00dtdsdtds∴v0?ks

因此发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 s?v0/k

2-11 一物体沿x轴作直线运动,其加速度为a??kv,k是常数。在t = 0时,v?v0,

2x?0。试求(1)速率随坐标变化的规律;(2)坐标和速率随时间变化的规律。

解 本题注意变量变换。

dvdvdxdv???v??kv2, 11.(1)因为a?dtdxdtdx所以v?v0e?kx (2)∵a?vdvtdv??kv2 ,?2??k?dt

v0v0dtxdv?v0v??k?0dx v推出v?v0

v0kt?1又v?∴x?xttv0dx,?dx??vdt??dt

000vkt?1dt01ln(v0kt?1) k22-12 一质点沿 x 轴作直线运动,其速度大小v?8?3t,(SI制)。质点的初始位置在 x 轴正方向10 m处,试求:(1)t?2s时,质点的加速度;(2)质点的运动方程; (3)第二秒内的平均速度。

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解 根据题意可知,t?0时,v0?8ms?1 ,x0?10m 12.(1)∵a?dv?6t dt?2当t?2s时,∴a?12ms

(2)由dx?vdt?(8?3t2)dt两边积分可得

∴质点的运动方程为x?10?8t?t (3)第二秒内的平均速度为v?

3?x10dx??(8?3t2)dt

0t?xx2?x1??15m.s?1 ?tt2?t12-13 质点作圆周运动,轨道半径r = 0.2 m,以角量表示的运动方程为

??10?t??t2 (SI)。试求:(1)第3s末的角速度和角加速度;(2)第3s 末的切向加

速度和法向加速度的大小。

解 (1)因为 ??10?t?1212?t 2故 ??d?/dt?10???t , ??d?/dt?? 以t = 3s代入,???13?rad?s ,???rad?s?2

(2) at?r??0.2?m?s?2, an?r?2?33.8?2m?s?2

2-14 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动,其角位置为??2?4t。(1)在 t = 2.0s时,质点的法向加速度和切向加速度各为多少?(2)t为多少时,法向加速度和切向加速度的量值相等?

3解 (1)由于??2?4t,则 ??3?1d?d??12t2,???24t dtdt法向加速度 an?r??14.4t 切向加速度 at?r??2.4t

24t = 2.0s时,ant?2s?r?2?2.30?102m?s?2, at22t?2s?rd??4.8m?s?2 dt(2)要使an?at,则有 r(12t)?r?24t

所以 t = 0.55 s

2-15 一汽车发动机曲轴的转速,在12 s内由20 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求: (1)发动机曲轴转动的角加速度; (2)在这段时间内,曲轴转过的圈数。

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解 (1)由于角速度??2?n(n为单位时间内的转数),根据角加速度的定义

?????02?(n?n0)d???13.1ra?ds?2 ,在匀速转动中角加速度为 ??dttt12???0?t?t??(n?n0)t 22(2)发动机曲轴转过的角度为 ???0t?在12 s内曲轴转过的圈数为 N?n?n0??t?390 圈 2?22-16 某种电机启动后转速随时间变化的关系为

???0(1?e),式中

?t2(1) t = 6 s时的转速;(2) 角加速度随时间变化的规律;(3) 启动后6 ?0?9.0rad? s?1。求:s内转过的圈数。

解 (1)根据题意,将t = 6 s代入,即得

???0(1?e)?0.95?0?8.6s?1

tt?t2?d??0?2(2)角加速度随时间变化的规律为 ???e?4.5e2s?2

dt2(3)t = 6 s时转过的角度为 ????dt???00660(1?e)dt?36.9rad

?t2则t = 6 s时电动机转过的圈数 N??2??5.87 圈

2-17 半径为r = 0.50m的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比,在t = 2 s时,测得轮缘上一点的速度值为4.0m?s。求:(1)该轮在t′ = 0.5s的角速度,轮缘上一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在2s内所转过的角度。

2解 由题意 ??kt,因ωR = v ,可得比例系数 k??1?t2?v?2 rt2所以 ???(t)?2t

(1) 则t′= 0.5s时,角速度为 ??2t??0.5rad?s 角加速度 ??2?12d??4t??2rad?s?2 dt切向加速度 at?r??1m?s?2

总加速度 a?at?an?r?et?r?en a?2(r?)2?(r?2)2?1.01m?s?2

220023(2) 在2 s内该点所转过的角度 ???0???dt??2tdt?t?5.33rad

232-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的

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角速度与时间的平方成正比,即??kt(SI制)。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。

解 首先确定常数k 。已知t = 2 s时,v = 32 m/s , 则有 k?22故 ??4t ,v?R??4Rt,at?2?t2?dv?8Rt dt?2v?3?4s 2Rtv2?2m.s?2 当t = 0.5 s v?4Rt?2m.s, at?8Rt?8m.s, an?R2?1 a?2at2?an?8.25m.s?2,??tan?1an?14.0o at2-19 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球,若取山顶为坐标原点,沿v0方向为x 轴正方向,竖直向下为 y 轴正方向,从小球抛出瞬间开始计时。试求:(1)小球的轨迹方程;(2)在t 时刻,小球的切向加速度和法向加速度。

解 (1)小球在x轴作匀速直线运动 x?v0t, y轴上作自由落体 y?12gt 2g2上述两方程联立消t,可得小球的轨迹方程 y?x 22v0(2)vx?v0 ,

vy?gt

222vx?vy?v0?g2t2

t时刻,小球的速率 v?dv?t时刻,小球的切向加速度 at?dt因为 a?g?g2tv?gt2022

222at2?an,所以,法向加速度 an?g?at?v0gv?gt2022

2-20 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时,声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大?

解 v1?30m/s,

v2?344m/s

向东传播的声音的速率 vE?v1?v2?30?344?374m/s 向西传播的声音的速率 vW?v2?v1?344?30?314m/s 向北传播的声音的速率 vN?v2?v1?3442?302?343m/s

222-21 一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距

离为l,空气相对地面的速率为u,飞机相对空气的速率v ’ 保持不变。试证:

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