所以 r?4ti?8t2j （2）任意时刻 v?drdv?4i?16tj； a??16j dtdt由x?4t和x = 2，可得 t = 0.5 s
所以，当质点位于x = 2.0 m时，其速度 v?4i?8j ，加速度 a?16j
2－10 一汽艇以速率v0沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a??kv，其中k为常数。试求发动机关闭后，（1）任意时刻
t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。
解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。
vdvtdv??kv ，???k?dt 10.（1）∵a?v0v0dt∴v?v0e?kt （2）∵
0sdvdvdsdv??v??kv，?dv??k?ds
v00dtdsdtds∴v0?ks
因此发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 s?v0/k
2－11 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为a??kv，k是常数。在t = 0时，v?v0，
2x?0。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。
解 本题注意变量变换。
dvdvdxdv???v??kv2， 11.（1）因为a?dtdxdtdx所以v?v0e?kx （2）∵a?vdvtdv??kv2 ，?2??k?dt
v0v0dtxdv?v0v??k?0dx v推出v?v0
v0kt?1又v?∴x?xttv0dx，?dx??vdt??dt
000vkt?1dt01ln(v0kt?1) k22－12 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小v?8?3t，（SI制）。质点的初始位置在 x 轴正方向10 m处，试求：（1）t?2s时，质点的加速度；（2）质点的运动方程； （3）第二秒内的平均速度。
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解 根据题意可知，t?0时，v0?8ms?1 ，x0?10m 12.（1）∵a?dv?6t dt?2当t?2s时，∴a?12ms
（2）由dx?vdt?(8?3t2)dt两边积分可得
∴质点的运动方程为x?10?8t?t （3）第二秒内的平均速度为v?
3?x10dx??(8?3t2)dt
0t?xx2?x1??15m.s?1 ?tt2?t12－13 质点作圆周运动，轨道半径r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为
??10?t??t2 （SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加
速度和法向加速度的大小。
解 （1）因为 ??10?t?1212?t 2故 ??d?/dt?10???t ， ??d?/dt?? 以t = 3s代入，???13?rad?s ，???rad?s?2
（2） at?r??0.2?m?s?2， an?r?2?33.8?2m?s?2
2－14 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动，其角位置为??2?4t。（1）在 t = 2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？
3解 (1)由于??2?4t，则 ??3?1d?d??12t2，???24t dtdt法向加速度 an?r??14.4t 切向加速度 at?r??2.4t
24t = 2.0s时，ant?2s?r?2?2.30?102m?s?2， at22t?2s?rd??4.8m?s?2 dt（2）要使an?at,则有 r(12t)?r?24t
所以 t = 0.55 s
2－15 一汽车发动机曲轴的转速，在12 s内由20 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求： （1）发动机曲轴转动的角加速度； （2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。
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解 （1）由于角速度??2?n（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义
?????02?(n?n0)d???13.1ra?ds?2 ，在匀速转动中角加速度为 ??dttt12???0?t?t??(n?n0)t 22（2）发动机曲轴转过的角度为 ???0t?在12 s内曲轴转过的圈数为 N?n?n0??t?390 圈 2?22－16 某种电机启动后转速随时间变化的关系为
???0(1?e)，式中
?t2（1) t = 6 s时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6 ?0?9.0rad? s?1。求：s内转过的圈数。
解 (1)根据题意，将t = 6 s代入，即得
???0(1?e)?0.95?0?8.6s?1
tt?t2?d??0?2（2）角加速度随时间变化的规律为 ???e?4.5e2s?2
dt2（3）t = 6 s时转过的角度为 ????dt???00660(1?e)dt?36.9rad
?t2则t = 6 s时电动机转过的圈数 N??2??5.87 圈
2－17 半径为r = 0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在t = 2 s时，测得轮缘上一点的速度值为4.0m?s。求：（1）该轮在t′ = 0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s内所转过的角度。
2解 由题意 ??kt，因ωR = v ,可得比例系数 k??1?t2?v?2 rt2所以 ???(t)?2t
(1) 则t′= 0.5s时，角速度为 ??2t??0.5rad?s 角加速度 ??2?12d??4t??2rad?s?2 dt切向加速度 at?r??1m?s?2
总加速度 a?at?an?r?et?r?en a?2(r?)2?(r?2)2?1.01m?s?2
220023(2) 在2 s内该点所转过的角度 ???0???dt??2tdt?t?5.33rad
232－18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的
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角速度与时间的平方成正比，即??kt（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。
解 首先确定常数k 。已知t = 2 s时，v = 32 m/s , 则有 k?22故 ??4t ，v?R??4Rt，at?2?t2?dv?8Rt dt?2v?3?4s 2Rtv2?2m.s?2 当t ＝ 0.5 s v?4Rt?2m.s， at?8Rt?8m.s， an?R2?1 a?2at2?an?8.25m.s?2，??tan?1an?14.0o at2－19 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿v0方向为x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。
解 （1）小球在x轴作匀速直线运动 x?v0t， y轴上作自由落体 y?12gt 2g2上述两方程联立消t，可得小球的轨迹方程 y?x 22v0（2）vx?v0 ，
vy?gt
222vx?vy?v0?g2t2
t时刻，小球的速率 v?dv?t时刻，小球的切向加速度 at?dt因为 a?g?g2tv?gt2022
222at2?an，所以，法向加速度 an?g?at?v0gv?gt2022
2－20 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？
解 v1?30m/s，
v2?344m/s
向东传播的声音的速率 vE?v1?v2?30?344?374m/s 向西传播的声音的速率 vW?v2?v1?344?30?314m/s 向北传播的声音的速率 vN?v2?v1?3442?302?343m/s
222－21 一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距
离为l，空气相对地面的速率为u，飞机相对空气的速率v ’ 保持不变。试证：
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