大 学 物 理 学
(上册)
习 题 解 答
陕西师范大学物理学与信息技术学院
基础物理教学组
2006-6-26
第2章 运动学
2－1 一质点作直线运动，其运动方程为x?2?2t?t , x以m计，t以s计。试求：（1）质点从t = 0到t = 3 s时间内的位移；（2）质点在t = 0到t = 3 s时间内所通过的路程
解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t =3时，x3 = －1；所以， ?x?x(t?3)?x(t?0)??3m （2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对x求极值，并令
2dx?2?2t?0 dt可得t = 1s ,即质点在t = 0到t = 1s内沿x正向运动，然后反向运动。 分段计算
?x1?xt?1?xt?0?1m， ?x2?x(t?3)?x(t?1)??4m
?x1??x2?5m
23路程为 s?2－2 已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x?2?6t?2t。试求：（1）质点在最初4s内位移；（2）质点在最初4s时间内所通过的路程 解 （1）t = 0时，x0 = 2 ；t = 4时，x4 = －30 所以，质点在最初4s内位移的大小 ?x?x4?x0??32m
（2）由
dx?12t?6t2?0 dt可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t1 = 2 s , t2 = 0 (舍去) 则 ?x1?x2?x0?8.0m，?x2?x4?x2??40m
所以，质点在最初4 s时间间隔内的路程为 s??x1??x2?48m
2－3 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 x?ut?u??1??t?ln(1?bt)，其中u?3.0?103m/s是喷出气流相对于火箭体的喷?b??3射速度， b?7.5?10/s 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（1）t = 0时刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s时，此火箭的速度和加速度
解 v?dxdvub??uln1(?bt)；a?? dtdt1?bt3?103?7.5?10?3?22.5m.s?2 （1）t = 0时， v = 0 ，a?13（2）t = 120s时， v??3?10ln(1?7.5?10?3?120)?6.91?m.s
3?13?103?7.5?10?3?225m.s?2 a??31?7.5?10?120
2
2－4 如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，t = 0时，船与滑轮间的绳长为l0 。试求：v0 当人以匀速v0拉绳时，船在距岸边x处的速度和加速度。
解 （1） 设任意时刻 t ，绳长为l，由题意l v0??dl；船到岸边的水平距离为x ，则 dth x v x?l2?h2
dxd2ldlx2?h22小船的运动速度为 v??l?h???v0
22dtdtxl?hdt负号表示小船在水面上向岸靠近。
小船的运动速度为 a?dvdl??(v0)
22dtdtl?h2h2v0dldl ??(v0)??3
22dll?hdtx负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。
2－5 一升降机以加速度1.22m?s上升，当上升速度为2.44m?s时，有一螺丝从升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74 m 。计算：（1）螺丝从升降机的
天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .
解 （1）以地面为参考系，取Oy坐标轴向上 ，升降机的运动方程为
?2?112at 212螺丝的运动方程为 y2?h?v0t?gt
21212当螺丝落至底面时，有 y1 = y2 ,即 y0t?at?h?v0t?gt
22 y1?v0t?所以 t?2h?0.705s g?a12gt?0.716m 2(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 d?h?y2??v0t?22－6 已知一质点的运动方程为 r?2ti?(2?t)j (SI)。试求：（1）质点的运动轨迹；（2）t = 1s和t = 2 s时刻，质点的位置矢量；（3）1s末和2 s末质点的速度；（4）质点的加速度。
解 （1）质点在x 、y方向运动方程的分量形式为 x = 2t ， y = 2－t 2 消去时间t , 可得 y?2?其运动轨迹为一抛物线
（2）t?1s时 r1?2i?j；t?2s时 r2?4i?2j
3
12x 4（3）质点运动的速度 v?dr?2i?2tj dt t?1s时 v1?2i?2j
即 v1?22m/s，?1??45o（?1为v1与x 轴的夹角） t?2s时 v2?2i?4j
即 v2?25m/s，?2??63o26?（?2为v2与x 轴的夹角）
（4）质点运动的加速度 a?dv??2j dt2－7 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为 r?(10?3t2)i?2t2j 试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。
解 （1） 质点运动方程的分量式为x?10?3t，y?2t2 消去时间参数t，可得运动的轨迹方程 3y?2x?20
（2）速度 v?6ti?4tj 加速度 a?6i?4j
2－8 一质点在Oxy平面上运动，其运动方程为r?3sin(0.1?t)i?3[1?cos(0.1?t)]j 试求质点在5s时的速度和加速度 。
解 速度 v?2dr?0.3?cos(0.1?t)i?0.3?sin(0.1?t)j dtd2r22??????30.1?sin0(.1?t)i?30.1?cos0(.1?t)j 加速度 a?dt2t = 5 s时的速度为 v?(0.3?m?s?1)j 加速度 a?(?0.03?m?s)i
2－9 一质点从坐标原点开始沿抛物线 y = 0.5 x2 运动，它在Ox轴上分速度（1）质点的运动方程；（2）质点位于x = 2 m处的速度和vx?4.0m?s?1为一恒量，试求：加速度 。
解 （1）因vx?4.0m?s为常数，故ax = 0 。当t = 0时，x = 0 ，可得质点在x方向的运动方程为 x?4t
又由质点的抛物线方程，有 y?8t
22?2?1 4
所以 r?4ti?8t2j （2）任意时刻 v?drdv?4i?16tj； a??16j dtdt由x?4t和x = 2，可得 t = 0.5 s
所以，当质点位于x = 2.0 m时，其速度 v?4i?8j ，加速度 a?16j
2－10 一汽艇以速率v0沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a??kv，其中k为常数。试求发动机关闭后，（1）任意时刻
t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。
解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。
vdvtdv??kv ，???k?dt 10.（1）∵a?v0v0dt∴v?v0e?kt （2）∵
0sdvdvdsdv??v??kv，?dv??k?ds
v00dtdsdtds∴v0?ks
因此发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 s?v0/k
2－11 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为a??kv，k是常数。在t = 0时，v?v0，
2x?0。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。
解 本题注意变量变换。
dvdvdxdv???v??kv2， 11.（1）因为a?dtdxdtdx所以v?v0e?kx （2）∵a?vdvtdv??kv2 ，?2??k?dt
v0v0dtxdv?v0v??k?0dx v推出v?v0
v0kt?1又v?∴x?xttv0dx，?dx??vdt??dt
000vkt?1dt01ln(v0kt?1) k22－12 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小v?8?3t，（SI制）。质点的初始位置在 x 轴正方向10 m处，试求：（1）t?2s时，质点的加速度；（2）质点的运动方程； （3）第二秒内的平均速度。
5
解 根据题意可知，t?0时，v0?8ms?1 ，x0?10m 12.（1）∵a?dv?6t dt?2当t?2s时，∴a?12ms
（2）由dx?vdt?(8?3t2)dt两边积分可得
∴质点的运动方程为x?10?8t?t （3）第二秒内的平均速度为v?
3?x10dx??(8?3t2)dt
0t?xx2?x1??15m.s?1 ?tt2?t12－13 质点作圆周运动，轨道半径r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为
??10?t??t2 （SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加
速度和法向加速度的大小。
解 （1）因为 ??10?t?1212?t 2故 ??d?/dt?10???t ， ??d?/dt?? 以t = 3s代入，???13?rad?s ，???rad?s?2
（2） at?r??0.2?m?s?2， an?r?2?33.8?2m?s?2
2－14 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动，其角位置为??2?4t。（1）在 t = 2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？
3解 (1)由于??2?4t，则 ??3?1d?d??12t2，???24t dtdt法向加速度 an?r??14.4t 切向加速度 at?r??2.4t
24t = 2.0s时，ant?2s?r?2?2.30?102m?s?2， at22t?2s?rd??4.8m?s?2 dt（2）要使an?at,则有 r(12t)?r?24t
所以 t = 0.55 s
2－15 一汽车发动机曲轴的转速，在12 s内由20 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求： （1）发动机曲轴转动的角加速度； （2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。
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解 （1）由于角速度??2?n（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义
?????02?(n?n0)d???13.1ra?ds?2 ，在匀速转动中角加速度为 ??dttt12???0?t?t??(n?n0)t 22（2）发动机曲轴转过的角度为 ???0t?在12 s内曲轴转过的圈数为 N?n?n0??t?390 圈 2?22－16 某种电机启动后转速随时间变化的关系为
???0(1?e)，式中
?t2（1) t = 6 s时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6 ?0?9.0rad? s?1。求：s内转过的圈数。
解 (1)根据题意，将t = 6 s代入，即得
???0(1?e)?0.95?0?8.6s?1
tt?t2?d??0?2（2）角加速度随时间变化的规律为 ???e?4.5e2s?2
dt2（3）t = 6 s时转过的角度为 ????dt???00660(1?e)dt?36.9rad
?t2则t = 6 s时电动机转过的圈数 N??2??5.87 圈
2－17 半径为r = 0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在t = 2 s时，测得轮缘上一点的速度值为4.0m?s。求：（1）该轮在t′ = 0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s内所转过的角度。
2解 由题意 ??kt，因ωR = v ,可得比例系数 k??1?t2?v?2 rt2所以 ???(t)?2t
(1) 则t′= 0.5s时，角速度为 ??2t??0.5rad?s 角加速度 ??2?12d??4t??2rad?s?2 dt切向加速度 at?r??1m?s?2
总加速度 a?at?an?r?et?r?en a?2(r?)2?(r?2)2?1.01m?s?2
220023(2) 在2 s内该点所转过的角度 ???0???dt??2tdt?t?5.33rad
232－18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的
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角速度与时间的平方成正比，即??kt（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。
解 首先确定常数k 。已知t = 2 s时，v = 32 m/s , 则有 k?22故 ??4t ，v?R??4Rt，at?2?t2?dv?8Rt dt?2v?3?4s 2Rtv2?2m.s?2 当t ＝ 0.5 s v?4Rt?2m.s， at?8Rt?8m.s， an?R2?1 a?2at2?an?8.25m.s?2，??tan?1an?14.0o at2－19 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿v0方向为x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。
解 （1）小球在x轴作匀速直线运动 x?v0t， y轴上作自由落体 y?12gt 2g2上述两方程联立消t，可得小球的轨迹方程 y?x 22v0（2）vx?v0 ，
vy?gt
222vx?vy?v0?g2t2
t时刻，小球的速率 v?dv?t时刻，小球的切向加速度 at?dt因为 a?g?g2tv?gt2022
222at2?an，所以，法向加速度 an?g?at?v0gv?gt2022
2－20 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？
解 v1?30m/s，
v2?344m/s
向东传播的声音的速率 vE?v1?v2?30?344?374m/s 向西传播的声音的速率 vW?v2?v1?344?30?314m/s 向北传播的声音的速率 vN?v2?v1?3442?302?343m/s
222－21 一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距
离为l，空气相对地面的速率为u，飞机相对空气的速率v ’ 保持不变。试证：
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2l； v?2lv?（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为t2?2； 2v??u（1）假定空气是静止的（即u＝0），飞机往返飞行时间为t1?（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为t3?试证：由速度关系 v = u + v? （1）u＝0时，飞机往返飞行时间为 t1?2lv??u22。
ll2l?? v?v?v?l ?v?u（2）空气相对地面的速度为u向东，从A ? B 所需时间为从B ? A 所需时间为
l v??ull2lv???2 v??uv??uv??u2u
v
v
B
所以，飞机往返飞行时间为 t2?（3）空气相对地面的速度为u向北，如图2－21所示，
u A
v?
( a )
v?
( b )
习题 2－21
从A ? B，飞机相对地面的速度为v?v?2?u2；从B ? A飞机相对地面的速度的大小2l?v
与从A ? B等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为
t3?2lv??u22
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第3章 牛顿定律及其内在随机性
3-1 一木块能在与水平面成? 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsinθ）。
解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为x轴正向，
N N
下滑 mgsin??Ff?0 （1） f 上滑 ?mgsin??Ff?ma （2） 由式（2）知，加速度为一常量，有
2 v2?v0?2as （3）
22v0v0解上述方程组，可得木块能上滑的距离 s?? ?2a4gsin??1f
mg 上滑
mg 下滑
3-2 在一水平直路上，一辆车速v?90km?h的汽车的刹车距离为s = 35 m 。如果路面相同，只是有1?10的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？
v2解： 在水平路上?k为定值，则 ??kmg?ma ，而 a??
2sv2所以 ?k?
2gs设斜面夹角为?，刹车距离为s?，加速度为a?，则 mgsin???kmgcos??ma?
v2?v2所以 s??? ?2a?2(gsin???kcos?)代入已知数值，注意sin? = 0.1 ,可得 s??39.5m
3-3 如图所示，质量m = 0.50kg的小球挂在倾角??30的光滑斜面上。 （1）当斜面以加速度a = 2.0m/s2水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球将脱离斜面？
解：(1)对小球 x向： Tcos??Nsin??ma y向： Tsin??Ncos??mg?0 可得
T?m(acos??gsin?)?0.5?(2?cos30?9.8sin30)?3.32N N?m(gcos??asin?)?0.5?(9.8?cos30?2sin30)?3.75N 小球对斜面的压力 N??N?3.75N
oooooN
T
mg
10
（2）小球刚要脱离斜面时N = 0，则 Tcos??ma， Tsin??mg 由此二式可解得 a?g/tan??9.8/tan30o?17.0m/s2
3-4 在水平面上一辆汽车以速率v行驶，当汽车与前面一堵墙相距为d时，司机才发现自己必须制动或拐弯。设车辆与地面之间的静摩擦系数为?s .问若司机制动停车（不拐弯），他需要的最小距离d1为多大？若他不制动而作90o拐弯（作圆弧形行驶），他需要的最小距离d2又有多大？哪种办法最安全？
解：汽车制动时，受到摩擦力作用，作匀减速直线运动，在拐弯情况下，汽车作圆周运动，摩擦力提供向心力。通过求出两种情况下汽车制动的距离，比较可以知道第一种方法更安全。
设汽车质量为m加速度为a，则在制动时有 ??smg?ma ，?v2?2ad1 所以 d1?v2/2?sg
v2若不制动而拐弯，则有 ?s?mg?m
d2v2所以 d2?
?sg由于d1< d2 可知制动安全。 3-5 月球的质量是地球的
13，月球的半径为地球半径的 。不计自转的影响，试计8111算地球上体重600N的人在月球上时体重多大？
解： 因为地球上人体重为 mge?mGMe?600N 2re1MeMm81所以月球上体重为 mgm?mG2?mG 2rm?3??re??11? ?mGme121121??mg??99.6N e2729re7293-6 一枚质量为3.03×103kg的火箭，放在与地面成58.0°倾角的发射架上，点火后发
动机以恒力61.2 kN作用于火箭，火箭轨迹始终与地面成 58.0°的夹角。飞行48.0s后关闭发动机，计算此时火箭的高度及距发射点的距离（忽略燃料质量和空气阻力）。
解 Fcos??max?m
dvx dt?v0mdvx??Fco?sdt
0t?x0mdx??4801Fcos?2t?1.23?104m Fcos?tdt x?axt2?22m11
同理 Fsin??mg?may?mdvydt
?v0mdvy??(Fsin??mg)dt
0t mvy?(Fsin?mg)t y??y0dy??(Fsin??mg)tdt
0481Fsin??mg2ayt2?t?8.44?103m 22mx2?y2?1.49?104m
火箭距发射点O的距离为 s?3-7 在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环，一个质量为m的物体A以初速度为
v0靠圆环内壁作圆周运动，物体与环壁的摩擦系数为?，试求物体A任意时刻的速率v？
解：选取自然坐标, 切向 mdv??f dtN v2dvv2?N，而 f??N ，所以 ???法向m
m RRdt由上式得
tdv????v0v2?0Rdt vf
则 v?v0 ?v01?tR3-8 光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦因数为? 。开始时物体的速率为v0 ,求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到
1v0时，物体所经历的时间及经过的路程。 2dvmv2解： (1)取自然坐标，有 FN?man?， Ff?mat??m
dtRv2dv??摩擦力的大小Ff??FN，由上述各式可得 ? Rdt取初始条件t = 0时v = v 0 , 并对上式积分
?t0dt??Rdv ?2v0?vv所以 v?Rv0
R?v0?t1Rv0时，由上式可得 t?? 2?v0（2）当物体的速率从v 0减少到
物体在这段时间内所经过的路程 s??t?0vdt??t?0Rv0dt
R?v0?t 12
s?R?ln2
3-9 一质量为10kg的质点在力F?120t?40（F的单位为N，t的单位为s）的作用下，沿x轴作直线运动。在t = 0时，质点位于x = 5.0m处，其速度v0?6.0m?s?1。求质点在任意时刻的速度和位置。
解：由题意 120t?40?mdv dt依据初始条件，t0 = 0时v0?6.0m?s?1，积分 所以 v?6?4t?6t
2?vv0dv???12t?4?dt
0t又因v = d x/d t,并由初始条件：t0 = 0时x 0=5.0m，积分 所以 x?5?6t?2t?2t
23?xx0dx??6?4t?6t2dt
0t??3-10 质量为m的质点在外力F 的作用下沿x 轴运动，已知t = 0时质点应位于原点，且初始速度为零，力F 随距离线性地减小，x = 0时，F = F0 ; x = L, F = 0.试求质点在;x = L处的速率。
F0x Ldvdvdvdxdv?F，而 ??v由牛顿第二定律 m dtdtdxdtdx解： 由题意，力F与x的关系为 F?F0?则 mvdv?Fdx??F0???F0?x?dx L?积分
L?F0?mvdv?F?x?dx 0?0?0?L??v所以 v?F0L m?13-11 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0×103kg 。飞机以55.0m?s的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数??5.0?10N?s ，求：（1）10s后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s内滑行的距离 。
解： 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，有 m
2?1dv???t dt?vv0dv???0t?tmdt
得 v?v0??2mt2
13
t =10s时， v?30.0m?s 又
?1?xx0dx??(v0?0t?2mt2)dt
故飞机着陆后10s内所滑行的距离 s?x?x0?v0t??6mt3?467m
3-12 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f ＝kmv2，其中 m为物体的质量，k为常量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值（设重力加速度为常量）。
解 以地面为原点，y轴竖直向上
dvdvvdv（1）上抛 ?mg?kmv?m； ?dtdtdy2f
f mg
mg
下落
上抛
积分
?h0dy???0v0vdv； 故有 h?ymax2g?kv221?g?kv0?? ?In??2k?g??（2）下落 ?mg?kmv?mdv dt?1/2积分
?dy???h0v02?kv0?vdv??v?v1? 则 0?2g?g?kv??
3-13如图所示，电梯相对地面以加速度a竖直向上运动，电梯中有一滑轮固定在电梯
顶部，滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的物体A和B，且ml＞m2。设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计，如以电梯为参考系，求物体相对地面的加速度和绳的张力。
解 取坐标 y 向下，设ar为物体相对电梯的加速度，
有 m1g?m1a?T1?m1ar m2g?m2a?T2?m2ar T1?T2 ，由上述各式可得 ar?m1?m2(g?a)
m1?m2习题3－12图
2m1m2绳的张力 T1?T2?(g?a)
m1?m2物体A对地面的加速度 a1?ar?a?(m1?m2)g?2m2a
m1?m22m1a?(m1?m2)g
m1?m2
B对地面的加速度为 a2??(ar?a)??
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第4章 动量守恒与能量守恒
4?105t；式中F和t的单位分别3为m和s，假设子弹出枪口时所示合力为零，此时子弹的速度为v?300m/s。试求：（1）
4－1 一粒子弹在枪膛中所受的合力为 F?400?子弹在枪膛中经历的时间；（2）子弹在枪膛中所受的冲量；（3）子弹的质量。
4?105t?0；所以 t?3?10?3s 33?10?34(400??105t)dt?0.6N.s （2）子弹在枪膛中所受的冲量 I??03I?3（3）由动量定理，可得子弹的质量 m??2?10kg
v解 （1）由题意 400?4－2 一个质量为m = 0.14 kg的垒球沿水平方向以v1?50m/s的速率投来，经棒打击后，沿与水平方向成??45的方向向回飞出，速率变为v2?80m/s。（1）求棒给球的冲量的大小与方向。（2）如果球与棒接触的时间为?t?0.02s，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的几倍？
解 （1）如图所示，设垒球飞来方向为x轴方向，棒对球的冲量大小为
I omv2 ? mv1
习题4－2用图
x 2?2v1v2cos??16.9N?s I?mv2?mv1?mv12?v2与垒球投来方向的夹角? 为
??180o?arctanI?mv2sin?o?1522?
mv1?mv2co?s（2）棒对球的平均冲力 F??t16.9?845N 0.02此力为垒球本身重量的 F/(mg)?845/(0.14?9.8)= 616倍
4－3 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为m =7.9×103 kg，子弹出枪口的速率为735 m / s 。子弹射出时，枪托每分钟对肩部的平均压力为多少？
－
解 以分钟计，枪对子弹的平均推力为 F?Nmv120?0.0079?735??11.6N t60由牛顿第三定律可知，枪托对肩的压力等于11.6 N 。
4－4 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一个质量为50 kg的杂技演员，在走钢丝练习时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知安全带的长度为5 m ，安全带弹性缓冲作用时间约为0.5 s。若取重力加速度g?10m.s安全带对杂技演员的平均作用力为多少？
解 以杂技演员为研究对象，人跌至5 m处时的速率为 v1??2，则
2gh
15
在缓冲过程中，根据动量定理，有(F?mg)?t?mv2?mv1 可得 F?mg?m2gh?(mv)?mg??1500N ?t?to 4－5 以炮弹以速率v0沿倾角? 的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为相等的两块，一块沿45仰角上飞，一块沿45的俯角下冲，求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多少？
解 如题图所示，炮弹炸裂前速率为v0cos?，沿水平方向，炸裂后两块分别以v1和v2飞行。忽略爆炸过程
中重力的作用，炮弹及碎块的动量守恒。于是有
y v1 v0cos?
450 450 v2
习题4－5 用图
ommv1cos45o?v2cos45o 22mmv1sin45o?v2sin45o 竖直方向： 0?22水平方向： mv0cos??联立解此二式，可得 v1?v2?x
2v0co?s
4－6 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6
m。爆炸1.00 s后，第一块落到爆炸点正下方的地面
y v2 2上，此处距抛出点的水平距离为1.00?10m。问第 v0 h v1 二块落在距抛出点多远的地面上。（设空气的阻力不
计）
x1 x2 x O
解 取如图示坐标，爆炸前，物体在最高点A的速度的水平分量 v0xgx ?1?x1t02h12gt 2习题4－6 用图
物体爆炸后，第一块碎片竖直落下 y1?h?v1t?碎片落地时，有y1 = 0 , t = t1 ,则由上式得 v1?根据动量守恒定律，在最高点处有 mv0x?h?12gt12 t1111mv2x ，0??mv1?mv2y，
222可解得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为
v2x?2v0x?2x1g?100m?s?1，v2y?v1?2hh?12gt12?14.7m?s?1 t1爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x2?x1?v2xt2， y2?h?v2yt2?落地时，y2 = 0 ，可解得第二块碎片落地点的水平位置 x2?500m
16
12gt2 24－7 一载人小船静止于湖面上，小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6 m，人的质量为50 kg ,试问当人从船尾走到船头时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。
解 假定船的质量为M，速度为v，人的质量为m，相对于船的速度为u，其方向与v的方向相反。选x轴沿v的方向，由该方向动量守恒有 Mv?m(v?u)?0 上式各项乘时间t得 Mvt?m(v?u)t?0 。
设t时间内船走的路程为S，人相对于船走过的路程为S?，则有MS?m(S?S?)?0，故 S?mS?50?3.6??1.2m
M?m100?504－8 A、B两球在光滑水平面上运动，已知A球的质量为m1?2kg、速度为
v1?0.2im.s?1，B球的质量为m2?3kg、速度为v2?(0.2i?0.5j)m.s?1 。两球碰撞
后合为一体，求碰撞后的速度。
解 以v表示碰撞后的速度。由动量守恒定律 m1v1?m2v2?(m1?m2)v 所以 v?(0.2i?0.3j)m.s?1
4－9 质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成? 角的速率v0向前跳去 .当他达到最高点时，他将物体以相对于
y 人为u的水平速率向后抛出 .问：由于人抛出物体，v v0 ? ? 他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）
解 取如图所示坐标.把人与物视为一系统，当人
α 跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中，满足动量守
O ?x x
恒，有 (m?M)v0cos??Mv?m(v?u)
习题4－9 用图
式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v－u为抛出
mu
M?mmu 人的水平速率的增量为 ?v?v?v0cos??M?m??物对地面的水平速率。得 v?v0cos而人从最高点到地面的运动时间为 t?v0sin? gmv0sin?u
(M?m)g所以，人跳跃后增加的距离
?x??vt?4－10 一人从10 m深的井中提水，起始时，桶及桶中水的总质量为10 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.20 kg的水 .水桶被匀速地从井中提到井口，求人所做的功。
解 水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平衡，有 F?mg 取坐标y竖直向上，水桶位于y处时，拉力 F?m0g?0.2gy
17
人对水桶的拉力的功为 A??100(m0g?0.2gy)dy?882J
4－11 长度为2 m的细绳的一端系在天花板上，另一端系一质量为0.20 kg的小球。现把小球移至使细绳与竖直方向成30角的位置，然后从静止释放。试求：（1）在绳索从300oo转到0角的过程中，重力和张力所做的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位置时绳的张力。
解 如图所示，重力的功 AG?mgl(1?cos?)?0.53J O 张力的功 AT?T?ds?0
（2）在最低位置时的动能为 Ek?AG?0.53J 小球在最低位置的速率为 v??? l T 2Ek?m2AG?2.30m?s?1 mmg
习题4－11 用图
（3）当小球在最低位置时，由牛顿定律可得
mv2mv2?2.49N T?P?； T?mg?ll4－12 最初处于静止的质点受到外力的作用，该力的冲量为4N?s，在同一时间间隔
内，该力所做的功为2 J, 问该质点的质量为多少？
解 由题意， p0?0， Ek0?0，根据动量定理，有I?p?p0?mv?4 由动能定理，有 A??Ek?Ek?Ek0?1mv2?2 2p2I2所以 m???4kg
2Ek2A4－13 一质量为m 的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动。设质点的最初速率是v0。当它运动一周时，其速率为v0/2。求：（1）摩擦力做的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？
解（1）摩擦力做功为 A?Ek?Ek0?11322mv2?mv0??mv0 228o（2）由于f??mg，故有 A?fscos180??2?r?mg 23v0可得动摩擦因数为 ??
16?rg（3）一周中损失的动能为mv0 ，则在静止前可运行的圈数为 n?382Ek04?圈 A34－14 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木版对钉子的阻力与钉子进入木版的深度成
18
正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板1?10m 。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度不变，那么第二次能把钉子钉入多深？
解 F = kx（k为常数），由动能定理
F = kx O ?2x1 x2 x ?Ek1???kxdx ， ?Ek2???kxdx
0x1x1x2习题4－14 用图
按题意， ?Ek1??Ek2，即 可得
?x10?kxdx???kxdx
x1x2?x?x2?x1?0.41?10?2m
4－15 质量为3 kg的质点在力F作用下沿直线运动，已知质点的运动方程为
x?3t?4t2?t3；x和t的单位分别为m和s 。试求：（1）在最初4 s内作用力F所做的
功；（2） t = 1s时，力F对质点所做功的瞬时功率。
解 （1）由 v?dx?3?8t?3t2 dt?1得 t?0时，v0?3m.s?1，t?4时，v?19m.s
由动能定理 A?112mv2?mv0?5.3?102J 22dv??8?6t （2）由 a?dt?2得 t?1时，a??2m.s，则 F?ma?6N
t?1时，v??2m.s?1，所以 P?F?v?12W
4－16 质量为1kg 的物体，以初速度14m.s从高度240 m处自由落下，并陷入沙坑中，陷入的深度为 0.2 m ，不计空气阻力，求沙对物体的平均阻力。
?1112mv0?mgh?mv2 2212陷入沙坑深度S ?mgs?mv??fs
2解 物体下落h距离
所以 f?mg(1?h12)?mv0 s2s代入数值得 f = 1.2×104 N
4－17 劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂，弹簧下端挂一物体，平衡时弹簧已有一伸长。若以物体的平衡位置为竖直y轴的原点，取物体的平衡位置作为弹性势能和重力势能的零点。试证：当物体的位置坐标为y时，弹性势能和重力势能之和为
证 设在平衡时弹簧已被拉长y0，则 mg?ky0
12ky。 2 19
当物体再下降距离y时，弹性势能为 Ep1?11212k(y?y0)2?ky0?ky?ky0y 222以平衡位置为重力势能零点，则此时重力势能为 Ep2?mgy??ky0y 此时弹性势能和重力势能的和为
Ep?Ep1?Ep2?121ky?ky0y?ky2 224－18 有一种说法认为地球上的一次灾难性物种（如恐龙）绝灭是由于6500万年前一
颗大的小行星撞入地球引起的。设小行星的半径是10km，密度为6.0×103 kg/ m3（和地球的一样）它撞入地球将释放多少引力势能？这能量是唐山地震估计能量的多少倍？（1976年，,唐山地震释放的能量约为1018J。）
解 小行星落到地面上所释放的引力势能为
?Ep??GMEmA?GMEmA?? ?????rARE??由于小行星运行轨道半径rA比地球半径RE大的多，所以有
?Ep?
GMEmAGME43???rA?
RERE3?Ep?1.6?1024J
4此能量约是唐山地震释放能量（约1018J）的106倍。
4－19 两颗中子星质量都是1030 kg 、半径都是2?10m，相距1010 m 。如果它们最初都是静止的。
（1）当它们的距离减小到一半时，它们的速度各是多大？ （2）当它们就要碰到时，它们的速度又将各是多大？
解 （1）对两中子星的距离r减小到一半的过程，由机械能守恒，有
?GmmGmm12??2?mv1 rr/22由此得 v1?Gm?8.2?103m/s rGmmGmm12???2?mv2 r2R2（2）同理，要碰上的过程，有 ?由此得 v2??11?Gm???= 4.1×107 m / s
?2Rr?4－20 如题图所示，有一半径为R的半球形光滑面，有一物块从半球形光滑面的最高点由静止沿球面滑下，若摩擦力略去不计。求此物块离开半
m 球面的位置以及物块在该位置的速度。
解 系统机械能守恒 mgR?1mv2?mgRcos? 2? R 习题4－20图
20
v2物块沿法向 mgcos??T?m
R物块脱离球面时，支持力T= 0，所以 ??arccos2?48.2o 3物块此时的速率为 v?gRcos??o2Rg 3ov的方向与重力P方向的夹角为 ??90???41.8
4－21 一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的2倍（即2R）。试以m、R ，引入恒量G ，地球质量M表示出：（1）卫星的动能；（2）卫星在地球引力场中的引力势能；（3）卫星的总机械能。
GmMmv2解 （1）对卫星用牛顿第二定律 ?23R(3R)由此式可得卫星的动能为 Ek?1GmMmv2? 26RGmM（2）引力势能为 Ep??
3RGmMGmMGmM???（3）卫星的总机械能为 E?Ek?Ep? 6R3R6R4－22 一轻弹簧的原长为l0，劲度系数为k，上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，
先用手托住，使弹簧保持原长。然后突然将物体释放，物体达最低位置时弹簧的最大伸长量
和弹性力是多少？物体经过平衡位置时的速率为多少？
解 以v表示物体再落下一段距离y时的速度，则机械能守恒定律给出
?mgy?121ky?mv2?0 22物体达到最低位置时，v?0,y?ymax，上式给出 ymax?2mg/k 此时弹力为最大值 fmax?kymax?2mg 物体经过平衡位置时，应有 mg?ky0
m2g21m2g2112122?k2?mv0?0 由以上各式得 ?mgy0?ky0?mv0??22k22k由此得物体的速度为 v0?y0(2mg?ky0/m?y0g?mg k4－23 质量m1的弹丸A ，穿过如题图所示的摆锤B后，速率由v减少到v/2 。已知摆锤的质量为m2，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动 ，v的最小值应为多少？
21
解 碰撞 m1v?m1v?m2v2 22m2v3摆锤达最高点（v3为摆锤在最高点的速率） m2g?
l摆锤从最低点到最高点 所以 v?1122m2v2?2m2gl?m2v3 22A O ? 2m25gl m1l m1 v B 4－24 如题图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为
习题4－23 用图 M ，从与水平成倾角? ＝ 30o斜面上的点B由静止下滑。设斜面
对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l时，与缓冲弹簧一
道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置B再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？
解 设弹簧被压缩的最大距离为x，矿车在下
M 滑和上行的全过程中，摩擦力所做的功为
l B Af?(0.25mg?0.25Mg)(l?x) 式中M和m分别为矿车满载和空载时的质量。
根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩α 擦力所做的功应等于系统机械能增量的负值，故有 m2
Af???E??(?EP??Ek)
习题4－24 用图
由于矿车返回原位时速度为零，故?Ek = 0 ；而?Ep?(m?M)g(l?x)sin?,故有 Af??(m?M)g(l?x)sin? 可解得
m1? M34－25 如图所示，质量为m1的钢球以速率为v射向质量为m2 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，
m2
但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧
m1 v 后，弹簧的最大压缩距离 .
解 设弹簧的最大压缩量为x0 。小球与靶共同运动的速率为v1 。 m1v?(m1?m2)v1 由机械能守恒定律，有
习题4－25 用图
1112m1v2?(m1?m2)v12?kx0 222所以 x0?m1m2v
k(m1?m2) 22
4－26 质量为7.2?10?23kg，速率为6?10m.s的粒子A与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5?10m.s。求：（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏转角。
解 取如题图所示的坐标，在碰撞前后系统动量守恒
y vB 7?17?1vA
mvBcos??mv?定律，有 mvA?Acos? 2mvBsin??mv? 0?Asin? 2又由机械能守恒定律，有
? ? v?A
x
11?m?2122mvA???vB?mv?A 22?2?2习题4－26 用图
碰撞后B粒子的速率为 vB?227?12(vA?v?A)?4.69?10m?s
各粒子相对原粒子方向的偏角分别为
22vA?3v?3vA ??arccos?22o20?,??arccosB?54o6?
4vAv?4vAA4－27 如图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最低端A处，斜面的倾角为? ，
高度为h ，物块与斜面的动摩擦因数为 ? ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动。求物块滑出
h 顶端时的速度大小 .
v0
解 子弹与物块撞击过程，在沿斜面的方向?? M α m 上，根据动量守恒有
A
mv0cos??(M?m)v1
在物块上滑的过程中，物块刚滑出斜面顶端时的速
度为v2 ,并取A点的重力势能为零。由系统的功能原理可得
习题4－27 用图
??(m?M)gcos?所以
h112?(m?M)v2?(m?M)gh?(m?M)v12 sin?222?m?v0cos???2gh(?cot??1) v2???M?m?
23
第5章 角动量守恒定律及刚体的转动
5-1 质点在有心力作用下沿光滑水平面上的圆周运动，当圆的半径为r0时，质点的速率为v0 。若在有心力作用下使圆半径逐渐减小。试求圆半径减小到r 时，质点的速率v 是多少？
解 在有心力作用下，质点的角动量守恒 mr0v0?mrv 由此可得 v?v0r0 r5-2 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。彗星离太阳最近的距离是
r1?8.75?1010m，近日点时它的速率是v1?5.46?104m/s。彗星离太阳最远的距离r2?5.26?1012m，远日点时彗星的速率是多少？
解 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒 mr1v1?mr2v2 由此得 v2?r1v1?9.08?102m?s?1 r24-3 若将月球轨道看作是圆，其转动周期按27.3d计算。试求月球对地球中心的角动量及掠面速度。
解 月球对地球中心的角动量为 LM?mMRMvM?2?mMRM/TM=2.86×1034 kg ? m2 / s
2LMdS2.86?1034月球对地心的掠面速度 ???1.94?1011m2/s 22dt2mM2?7.35?105-4 1988年12月，我国发射的通信卫星在到达同步轨道之前，先要在一个大的椭圆形“转移轨道”上运行若干圈。此转移轨道的近地点高度为h1 = 205.5 km，远地点高度为h2 = 35835.7 km ，卫星越过近地点时的速率为v1 = 10.2 km / s 。已知地球半径为R?6378km。（1）求卫星越过远地点时的速率v2 ；（2）求卫星在此轨道上运行的周期； （提示：椭圆面积公式S??2(r1?r2)r1r2）。
解 （1）由卫星对地心的角动量守恒 m(R?h1)v1?m(R?h2)v2 可得卫星越过远地点时的速率为 v2?v1?（2）椭圆面积 S?掠面速度
R?h1= 1.59 k m / s
R?h2?2(r1?r2)r1r2
ds1?v1r1 dt2 24
卫星的运行周期 T??(r1?r2)r2S?38057s?10.6h ?dS/dtv1r15-5（1）设氢原子中电子在圆形轨道上以速率v绕质子运动。作用在电子上的向心力大小为
e24??0r2（库仑力），其中e为电子的电量，r为轨道半径，?0为恒量（真空中电容率）。
e2试证明轨道半径为 r? 24??0mv（2）假设电子绕核的角动量为h/2?的整数倍，其中h为普朗克常量。试证明电子的可能轨道半径由下式确定： r?nh 2?mv（3）是由以上两式消去v，从而证明符合这两个要求的轨道半径必须满足以下关系式：
n2?0h2 r?
?me2mv2证 （1）电子绕质子作圆周运动的向心力是F?，有 ?24??0r2r4??0re2e2则电子的轨道半径为 r? 24??0mvhe2h（2）根据题意，即L?n，有 L?mv ?n22?2?4??0mv则电子可能的轨道半径为 r?e2nh 2?mvn2?0h2（3）根据（1）和（2）的结果消去v ，得 r?
?me25-6 质量m = 5 kg的质点在xoy平面上运动，作用在质点上的力为 ，已知t = 0 时，质点静止于坐标F??2?6t?i?8j（力的单位为N ，时间的单位为s ）
原点处。试求：2秒末（1）该质点的动量；（2）作用力F对原点的力矩；（3）该质点对原
点的角动量。
F1??(2?6t)i?8j? m5dv1由a?得 dv?adt??(2?6t)i?8j?dt
dt512两边积分得： v?(2t?3t)i?8tj
516(i?j)， p?mv?16i?16j 当t?2s时 v?5解（1） a??? 25
dr12得 dr?vdt?(2t?3t)i?8tjdt dt51232两边积分得： r?(t?t)i?4tj
51216i?j， F?14i?8j 当t?2s时 r?55（2）由v????? M?r?F???1216?i?j??(14i?8j)??25.6k
5??5?1216?i?j??(16i?16j)??12.8k
5??5（3）由质点角动量定义得：L?r?p?? 5-7 飞轮的质量为60 kg，直径为0.50 m，转速为1 000 r/min，现要求在5.0 s内使其
制动，求制动力F，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数?= 0.40，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。
解 如图所示。根据闸杆的力矩平衡，有 F(l1?l2)?N?l1?0 而N?N?，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为 M?Fff
l1 N? N l2 F
l?ld1?FN?d?12F?d （1） 222l1摩擦力矩是恒力矩，飞轮作匀角加速转动，有
?????0t??0t?2?n （2） t飞轮绕轴的转动惯量J?md F?2、（2）可得制动力 4，根据转动定理M?J?，由式（1）
?nmdl1?3.14?102N
?(l1?l2)t5-8 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03×103 N.m，涡轮的转动惯
4
量为25.0 kg?m2。当轮的轴速由2.80×103 r/min 增大到1.12×10 r/min时，所经历的时间t为多少？
解：在匀变速转动中 ?????0t （1）
由转动定理有： M?J? （2）
由式（1）、（2）得 t????0MJ?2?J(n?n0)=10.8 s
M5-9 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，如图所示使质量为m的重物由静止开始下落，带动飞轮转动。记录重物下落的距离和时间，便可计算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式（轴承进摩擦忽略不计）。
26
解 对滑轮，根据转动定理，有 TR?J? 对重物，由牛顿定律，有 mg?T?ma 由于 a?R? 重物匀加速下落，则有 h?2T
B T ?
mg
12at 2?gt2??由上述各式可解得 J?mR??1?2h?
??5-10 半径为R，质量为m的均质圆盘，求通过圆盘边缘且与盘面垂直的轴的转动惯量。
2解 根据平行轴定理Jo??Jo?mR和绕圆盘中心轴O的转动惯量Jo?21mR2可得 2 Jo??Jo?mR?13mR2?mR2?mR2 225-11 试证明质量为m，半径为R的匀质球体，以直径为轴的转动关量为
2mR2，如以和球体相切的线为轴，其转5O1? R O1 x 动惯量又为多少？
证 在垂直于转轴方向取小圆盘为微元，微元盘对OO?轴的转动惯量
O? O x 121rdm?(R2?x2)??(R2?x2)dx 22R123m2222J???(R?x)dx?mR式中??，则 3??R24?R5722又由平行轴定理可得 J??J?mR?mR
5 dJ?5-12 质量面密度为?的匀质矩形板，试证通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为
?12ab(a2?b2)，其中a为矩形板的长，b为它的宽。
证 取矩形板的几何中心为坐标原点，在板上取一质元dm??dxdy，它对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为 dJ?(x?y)?dxdy 整个矩形板对该轴的转动惯量为 J?dJ?22???ab22ab??22(x2?y2)?dxdy?1?ab(a2?b2) 125-13 质量为m，内外半径分别为R1和R2（R1 < R2）的、长为L的匀质圆筒。试求该圆筒对其中心轴的转动惯量。
解：以OO?为轴、r为半径取厚度为dr的薄圆筒，其体积dV?2?rLdr，质量
dm??dV圆柱体的体密度为 ??
m 2?(R2?R12)L27
dm??2?rLdr?R22mrdr 22R2?R112m223?m(R?Rrdr12) 222R2?R1 J?rdm??2?R15-14 如题图所示的系统，滑轮C可视为半径为R = 0.01 m、质量为mC = 15kg的匀质
圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若滑块A的质量为mA = 50 kg，重物B的质量为mB=200kg。求重物B的加速度及绳中的张力。
解： 对A，有 T1?mAa 对B，有 mBg?T2?mBa 对滑转C，有 (T2??T1?)R?J? 又因为 ??A T1 N T1? T2 B mAg T2?
mBg
a1,J?mcR2， R2T1??T1,T2??T2
可解得 a?mBgmA?mB?1mc2?7.61m?s?1 ， T1?mAa?381N ，
T2?mB(g?a)?438N
5-15 如题图所示，质量为m1=16 kg 的实心圆柱体A，其半径为r =15 cm可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计，一条轻绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量为m2 = 8.0 kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1.0 s后的距离；（2）绳的张力。
解 （1）对实心圆柱体A, Tr?J??对物体B ，有 m2g?T??m2a 又因为 T?T? ， a?r?
1m1r2? 2A T ?
B 2m2g可解得物体下落的加速度 a?
m1?2m2T
m2g
m2gt212在t =1.0 s时，B 下落的距离为 s?at??2.45m
2m1?2m2（2）绳中的张力为 T?m(g?a)?m1m2g?39.2N
m1?2m25-16 如题图所示之装置，定滑轮是半径为R，质量为2m匀质圆盘，滑轮两边分别悬挂
28
质量均为m的物体A、B。置于倾角为??30的光滑斜面上，若B向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不及，绳与滑轮间无滑动，滑轮与轴承近光滑）。
解 对A，沿斜面方向有 T1?mgsin??ma 对B，有 mg?T2?ma 对滑轮 (T2??T1?)R?J? 且有 T1?T1?,T2?T2? 由于 a?r? J?mR 解上述各方程可得 a?2?N A T1 T2
T1? B mg T2?
mg
125g ，T1?mg ，T2?mg 636k 5-17 如题图所示，质量可忽略不计的细绳，绕过半径为30 cm，转动惯量为0.50 kg?m2的定滑轮，一端与劲－
度系数k =2.0 N?m1的弹簧连接，另一端悬挂质量为0.06 kg的物体。当物体落下0.40 m时的速率是多大？（设开始时物体静止且弹簧无伸长）
解 物体下落过程中，物体弹簧滑轮和地球组成的系统机械能守恒，设物体下落h时，速度为v，滑轮角速度为?，设物体初始位置势能为零。于是有
m 习题5－17图
O?111mv2?mgh?kh2?J?2 222v考虑到 ?? 得 v?r2mgh?Rh2?0.16m?s?1 Jm?2rM m 1 m2 5-18 一不变的力矩作用在铰车的鼓轮上使轮转动，如题图所示，匀质圆柱形鼓轮的半径为r，质量为m1。绕在鼓轮上的轻绳系以质量为m2的重物，使其沿倾角为?的斜面上升。重物和斜面的滑动摩擦因数为?。在开始时此系统静止，试求鼓轮转过?角时的角速度。
解 根据质点系动能定理，在鼓轮转过?角的过程中，（设鼓轮转过?角时的角速度为?）则有 M??m2gr?sin???m2gr?cos?
? 习题5－18图
?11?1?m2(r?)2??m1r2??2 22?2?
??4?M?m2r(sin???cos?)g 2(m1?2m2)r29
5-19 如题图所示，半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮，它们各自对通过盘心且垂直面转轴的转动惯量为J1和J2。开始时轮Ⅰ以角速度?0转动，问与轮Ⅱ成正交啮合后，两轮的角速度分别为多大？
解 设相互作用力为F ，在啮合的短时间?t内，根据角动量定理，对轮Ⅰ有 ?Fr1?t?J1(?1??0) 对轮Ⅱ有 Fr2?t?J2?2
两轮啮合后应有相同的线速度，故有 r1?1?r2?2
习题5－19图
J1?0r22J1?0r1r2由上述各式可解得 ?1? ,??2J1r22?J2r12J1r22?J2r125-20 一质量为20.0 kg的小孩，站在一半径为3.00 m，转动惯量为450 kg?m2的静止水
平转台边缘上，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩对转台以1.00 m?s-1的速率沿转台边缘行走，问转台的角速度有多大？
解 人相对地面的角速度为 ???0??1??0?v R根据系统的角动量守恒定律，有 J0?0?J1(?0??1)?0
式中J0、J1?mR2分别为转台、人对转台中心轴的转动惯量 。可得转台的角速度为
mR2v ?0????9.52?10?2s?1 2J0?mRR式中负号表示转台转动的方向与人对地面的转
m 动方向相反 。
5-21 如题图所示，有一根质量很小的长度v0 为L的匀质细杆，可绕通过其中心点O并与纸l 面垂直的轴在竖直平面内转动，当细杆静止于水4O ? 平位置时，有一只小虫以速率v0垂直落在距转P r 轴为1／4处，并背离点O向细杆的断点爬行。
设小虫的质量与细杆的质量均为m。问欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫向细杆端点A爬行的速率为多少？ 习题5－21图
解 设细杆与小虫一起转动的角速度为
?，在碰撞前后，小虫和细杆系统的角动量守恒，有
A ?
mv0L?1L???mL2?m()2?? 4?124?12v0 （1） 7L30
即 ??
因细杆对转轴的重力矩始终为零，当小虫爬到距转轴为r的点p时，作用在小虫和细杆系统的外力矩仅为小虫对转轴的重力矩，即 M?mgrcos? （2）
dLddJ?(J?)?? （3） dtdtdt1mL2?mr2 （4） 式中J为小虫爬到点p 时，系统的转动惯量，有 J?12dJdr?2mr即得 （5） dtdtdr将式（2）和式（4）代入式（5），得 mgrcos??2mr?
dt由题意，角速度恒定，所以有 M?考虑到???t，上式为 v?g7Lgdr?12v0??cos?t?cos?t? dt2?24v07L??5-22 一质量为1.12 kg，长为1.0 m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬
挂，以100N的力打击它的下端点。打击时间为0.02 s，（1）若打击前棒是静止的，求打击时其角动量的变化；（2）求棒的最大偏转角。
2?1解（1）由刚体的角动量定理得 ?L?J?0?Mdt?Fl?t?2.0kg?m?s
?（2）选O处为重力势能零点，棒和地球系统
112J?0?mgl(1?cos?) 22?3F2?t2?o??所以 ??arccos1??8838? 2??mgl??5-23 如图所示，A与B两飞轮的轴杆由摩擦啮合器
使之连接，A轮的转动惯量J1=10.0 kg?m2，开始时B轮静止，A轮以n1=600 r/min的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于n2=200 rmin为止。求：（1）B轮的转动惯量；（2）啮合过程中损失的机械能。
解 （1）取两飞轮为系统，根据角动量守恒，有
J1?1?(J1?J2)?2
则B轮的转动惯量为 J2? 题5-23图
?1??2n?nJ1?12J1?20.0kg?m2 ?2n2112(J1?J2)?2?J1?12??1.32?104J 22（2）系统在啮合过程中机械能的变化为?E?式中负号表示啮合过程机械能减少 .
5-24 如题图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度?0在无摩擦的水平面上，一半径为r作圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，小球则以半径为r/2作圆周运动。试求：（1）小球新的角速度；（2）
31
5-24图
拉力所做的功。
解 （1）小球在转动的过程 J0?0?J1?1
2式中 J0?mr0， J1?12mr0 4则
??J0?0?4?0 J111322J1?12?J0?0?mr02?0 222（2）由转动的动能定理可得拉力的功为 A?5-25 如图所示，质量为m?、长度为l的均匀细杆上端悬挂于O点，下端连接质量也为
m?的物体B（可视为质点）。质量为m的子弹A，射穿物体B后，速
O v率由v减小为 。如果细杆能在竖直平面内完成一个完全的圆周运l 2m' 动，子弹A的速率v至少应为多少？
解 子弹与摆锤碰撞 J1v?v??J1???(J2?J3)?0 l?2l?A
v m B
m'
22式中J1?ml、J2?m?l和J3?1m?l2分别为子弹、摆锤和杆对轴的转动惯量. 3摆锤在转动过程中，机械能守恒
11?3?2(J2?J3)?0?m?gl?m?g(2l)?m?g?l? 22?2?4m?2gl m可得子弹速度的最小值为 v?5-26 如题图所示，回转仪转盘的质量为m = 0.10 kg，半径为R = 0.05 m，离Z轴的距离为d = 0.10 m，转盘绕y轴以? =100 rad/s的角速度转动。求：（1）该轮自转的角动量；(2）作用与轴上的外力矩；(3）系统的进动角速度，并判断进动方向。
解 （1）若忽略进动角动量，转盘自转的角动量为
L0?J?j?1mR2?j2?0.0125jkg?m2?s?1
（2）作用于轴上的外力矩为
i M0??mgdi?0.098（3）进动角速度为 ?p?N?m 0.098
0.0125
5-26图
M0L0??7.84rad?s?1
32
第6章 机械振动
6—1 一质点作简谐振动，其运动方程为 x?0.1cos(20?t??4)
试求：（1）振幅、频率、角频率、周期、和初相；（2）t = 2s时的位移、速度和加速度 。
解 （1）将x?0.1cos(20?t?角频率ω＝20π s
－1
?4)与x?Acos(?t??)比较后可得：振幅A=0.10m ,
，则周期T=2π/ω=0.1s ，频率??＝1/T=10 HZ ，初相φ＝π/4 。
（2）位移、速度、加速度分别为 x?0.1cos(20?t??4)
v?dx?dv???2?sin(20?t?)；a???40?2cos(20?t?) dt4dt4?2?1?2将t =2 s代人，得 x?7.07?10m， v??4.44m?s， a??279m?s6－2 一个小球和轻弹簧组成的系统，按 x?0.05co?s8?t?
????? 3?的规律振动。（1）求振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度；
（2）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解 （1）与简谐振动的标准表示式x?Acos(?t??)比较，可得
??8??25.1s?1；T?2?/??0.25s；A?0.05m；
???/3；vm??A?1.26m/s2；am??2A?31.6m/s2。
6－3 一质点按规律 x?0.5?10?2cos(4?t??4)作简谐振动，试求：质点的速度、
加速度，并分别画出位移、速度、加速度随时间变化的曲线。
解 v?dx???2??10?2sin(4?t?) dt4dv?a???8?2?10?2cos(4?t?)
dt46－4 一质点作简谐振动，已知x－t曲线如图所示，试写出此振动质点的运动方程。
解 由图，A = 0.10 m ， T = 2 s ，
x/m 2???s?1 则 ??T0.10 由图可以看出，t = 0时，x0 = －0.05 ，v0 < 0 ，故 ??1/3 －0.05 －0.10 4/3 7/3 2? 32?) 3t/s
所以 x?0.1cos(?t?习题6－4 用图
6—5 某振动质点的x－t曲线如题图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间 。
33
解 （1）振幅A = 0.10m ；由图（b）初相?0???/3，?(t1?t2)??/2??/3得
???5???5?/24s?1，则运动方程为 x?0.10cos?t??
3??24x/m t=4 t=tp 4 p 0.10 ? 0.05 O t/s
t=0 x t=0 (c)
x 习题6－5 (a)
(b)
（2）图6-5（a）中点P的位置是质点从A / 2处运动到正向的端点处 。对应的旋转矢量图如图（c）所示 。当初相取?0???/3时，点P的相应位为?p??0??(tp?0)?0（如果初相取成?0?5?/3，则点P相应的相位应表示为?p??0??(tp?0)?2?） 。
（3）由旋转矢量图可得?(tp?0)??/3，则tp?1.6s
6—6 水平放置的弹簧振子，已知振幅A?3?10m ，周期T = 0.5 s。就以下几种情况，求振动物体的运动方程 ：（1）当t = 0时，物体在正方向的端点；（2）当t = 0时，物体在平衡位置，向负方向运动；（3）当t = 0时，物体在x?1.5?10m处，向负方向运动；（4）当t = 0时，物体在x??1.5?10m处，向正方向运动；
?2解 A?3?10m，???2?2?22??4? T? ＝ 0
??（2）
?2 ??（3）
?3 ???
43（1）
（4）
习题6－6 用图
?2（1）x?3?10cos4?t； （2）x?3?10?2?2cos(4?t??2)
（3）x?3?10cos(4?t??4)； （4）x?3?10?2cos(4?t??) 33 34
?26—7 一水平弹簧振子，振幅A?2.0?10m，周期T?0.50s。当t = 0时，
?2（1）物体过x?1.0?10m处，向负方向运动； （2）物体过x??1.0?10m，向正方向运动。 分别写出以上两种情况下弹簧振子的运动方程。 解 （1）x?2.0?10?2cos?4?t?2?????2?； （2）x?2.0?10cos(4?t?2?/3) 3?－
6－8 上端固定的轻弹簧，下端挂一质量为0.01 kg的物体时，弹簧伸长量为4.9×102
m 。用此弹簧和一质量为0.08 kg的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开0.01m后，给予向上的初速度v0 = 0.05 m / s 。试求此弹簧振子的振动周期及运动方程。
解 由平衡条件m1g = kx1可得 k = m1g / x1=2.0 N / m 此弹簧振子的角频率为 振动周期 T???k/m2?5.0s?1
2? 52???以竖直向下为x 轴，并以平衡位置为原点，则x0 = 0.01m , v0 = －0.05 m / s ,由此可得 A?由x0?0,x?20?v0??5?2??; ?2?10m??arcta?n?,? 02?????x0?442v0v0?0取?0??/4，于是有 x?2?10?2cos5(t??/4)
6—9 上端固定的竖直轻弹簧，当其下端悬挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10
－2
m ；若使物体上、下振动，且规定向下为正方向 。就以下两种情况，求物体的运动方程 。
－
（1）当t = 0时，物体在平衡位置上方8×102 m 处，由静止开始向下运动； （2）当t = 0时，物体在平衡位置，并以0.6 m/s的速度向上运动。
－
解 物体受力平衡时，弹簧的伸长量Δl=9.8×102m ，此时 kΔl = mg ，系统作简谐振动的角频率为
??k/m?g/?l?10s?1
（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向 。由初始条件t = 0时，
－
x10=8×102m、v10 = 0，可得振幅 A?2x10?(v10/?)2?8.0?10?2m;
由初始条件得初相φ1＝π ，则 x1?8?10cos(10t??)
（2）t = 0时，x20=0、v20=0.6 m?s1，同理可得
－
?22A2?x20?(v20/?)2?6.0?10?2m; ， φ2＝ π/2
则 x2?6?10cos(10t?0.5?)
6－10 一个沿x轴作简谐振动的小球，振幅为A = 2×10
－2
?2m，速度的最大值为
（1）振动频率；（2）加速vm?3?10?2m?s?1。若取速度具有正的最大值时t = 0 。试求：
35
度的最大值；（3）振动小球的运动方程。
解 设小球的振动方程为 x?Acos(?t??)
（1）由v??A?sin(?t??) 得 vm?A? ，故有 ??（2）由a??A?2co(s?1vm??0.24(Hz) 2?2?A故有am?A(2??)2?4.5?10?2(m/s2) ?t??)得am?A?2，
（3）由于t = 0时，v??A?sin??vm，故有 sin???1， ???且
?2
???2???1.5(s?1)， 所以 x?0.02cos(1.5t?)(m)
26—11 在如题图所示之装置中，劲度系数为k的轻弹簧，左端固定，右端通过细绳连接一质量为m 1的物体A ，细绳跨过质量为m 2 、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）。设细绳不可伸长，且绳与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率 。 解 设平衡时，弹簧伸长x0 ，则 kx0?m1g 取此时物体A的位置为坐标原点，
k B md2x对物体A，有 m1g?T?m1 2dtA 对B，有 [T?k(x?x0)]R?J?
习题6－12 用图 m11d2x2J?mR而 ?? 22Rdt2d2xk联立以上各式，可得 ?x?0
dt2m1?m2/2则系统振动的角频率为 ??2k
2m1?m26—12 将一质量为m、半径为R细圆环挂在墙面的钉子上。求它作微小摆动的周期。 解 圆环摆起一角度? 时，将受到力矩 M??mgRsin? 由于圆环对悬挂点的转动惯量为 J?2mR
2d2???mgRsin? 由转动定理，有 2mR2dt2gd2?22??，则 ????0 对微小摆动，有sin???，令 22Rdt 36
所以 T?2???2?2R g6—13 为了测量月球表面的重力加速度，宇宙员将地球上的“秒摆”（周期为2. 00 s）拿到月球上去，若测得周期为4 .90 s，则月球表面的重力加速度约为多少？（取地球表面的
－
重力加速度gE = 9 .80 m ? s2）
2解 由单摆的周期公式T?2?l/g可知g?1/T2, 故有 gM/gE?TE2/TM ，
则月球的重力加速度为 gM?(TE/TM)2gE?1.63m?s?2
6—14如题图所示，质量为1.0×102 kg的子弹，以500 m ? s1的速度射入木块，并嵌
－
在木块中，从而使木块作简谐振动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0×10
－3m2 N ? m1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，k v 向右为x轴正向，求木块作简谐振动的运动方程 。 ??m1? 解 振动系统的角频率为 x －
－
O
??k/(m1?m2)?40s
由动量守恒定律得振动的初始速度（即子弹和木块
?1习题6－15 用图
??0??2的共同运动初速度）v0为 v0?m1v/(m1?m2)?1.0m?s?1 振幅为 A?2x0?(v0/?)2?v0/??2.5?10?2m
x由旋转矢量图，可知初相位?0??/2，则运动方程为 x?2.5?10cos(40t?0.5?) 6—15 如题图所示，劲动系数为k的轻弹簧，左端固定，右端系一质量为m1的物体，
在水平面上作振幅为A 的简谐振动 。物体通过平衡位置时，有一质量为m2的粘土，从高度 h自由下落，正好落在物体上 。试求：（1）粘土落下后物体的振动周期是粘土落下前周期的多少倍？（2）粘土落下后物体的振幅是粘土落下
m2
前振幅的多少倍？
解 （1）粘土落下前的周期为
h T?2?/??2?m1/k k m1 ?2粘土落下后 T??2?/???2?(m1?m2)/k
x 习题6－16 用图
m1?m2所以 T??T
m1（2）设粘土落至物体前后，系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速度分别为A、v和A?、v? 由动量守恒定律和机械能守恒定律可列出如下各式
12111kA?m1v2； kA?2?(m1?m2)v?2； m1v?(m1?m2)v? 2222联立解上述三式，可得 A??m1A
m1?m237
6—16 质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0×102 m作简谐运动，其最大加速度为
－
4.0m?s?2。求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的动能、势能、总能量；（3）
物体在何处其动能与势能相等？
解 （1）振动周期 T?2?/??2?A/amax?0.314s
(2) 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即 EK?E?(3) 设振子在位移
11mA2?2?mAa?2.0?10?3J max22x0处动能与势能相等，则有
2kx0/2?kA2/4
得 x0??2A/2??7.07?10?3m
6－17 一个质量为m的小球在一个光滑的半径为R的球形碗底作微小振动，如题图所示。设t = 0时，??0，小球的速度为v0，向右运动，试分别运用牛顿第二定律和机械能守恒定律求在振幅很小的情况下，小球的运
动方程。
解 （1） 以小球为研究对象，在轨迹的切线方向上有
O ? d2? mR2??mgRsin?
dtd2??g??0 当振幅很小时，sin???，代入上式有Rdt2d2?2????0 即 2dt其中，角频率??习题6－18 用图
g，求解该微分方程得 ???0cos?(t??) Rvd?v0??，则有???,?0?0 dtR2?R当t = 0时，??0,因此
??gv0?cos(t?) ?RR2（2）小球在运动过程中仅有重力做功，机械能守恒，以最低点为势能零点。则在t时
1mR2(d?/dt)2?mgR(1?cos?)?常量 2dE?0 对时间求异，有 dt刻小球的机械能为 E?d?d2?d??mgRsin??0 即 mRdtdtdt22 38
d2?g?sin??0 所以 2Rdtd2?g???0 在振幅很小时sin???，得 2Rdt此后的解题过程与解（1）相同。
6—18 已知同方向、同频率的两个简谐振动的运动方程分别为
x1?0.05cos(10t?0.75?)；x2?0.06cos(10t?0.25?)
试求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动振动
x3?0.07cos(10t??3)，则?3为多少时，x1?x3的振幅最大？?3为多少时， x2?x3的
振幅最小？
解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图。因为????2??1???/2，故合振动振幅为 A?合振动初相位
2A12?A2?2A1A2cos(??/2?7.8?10?2m
??arctanA1sin?1?A2sin?2?arctan11?1.48rad
A1cos?1?A2cos?2（2）要使，x1?x3振幅最大，即两振动同相，则由???2k?，得
?3??1?2k??2k??0.75?,k?0,?1，?2，?
要使，x2?x3振幅最小，即两振动反相，则由???(2k?1)? 得
?3??2?(2k?1)??2k??1.25?,k?0,?1，?2，?
6—19 一物体悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端作阻尼振动，开始时，其振幅为0.08 m，
经144 s 后振幅减为0.04 m 。问：（1）阻尼因数为多少？（2）如果振幅减至0.02 m ，需要再经历多长时间？
解 （1）由阻尼振动振幅A?A0e??t，得
??lnA0/A1?4.81?10?3s?1 t1A1A0e??t1（2）两不同时刻的振幅比，则振幅由A1改变为A2所经历的时间 ???t2A2A0e
?t?t2?t1?lnA1/A2?
?144s
39
第7章 机械波
7－1. 在绳子上传播的横波的波函数为y?0.20cos(2.50?t??x)。（1）求波的振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上的质点振动时的最大速度；（3）分别画出t?1s和t?2s时的波形，并指出波峰和波谷。画出x?1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。
解. （1）将已知波函数表为 y?0.20cos?2.t5?x(与一般表达式
2.5)y?Acos??(t?xu)???比较，可得
A?0.20m，u?2.5m?s?1，??0
则 ???2??1.25Hz，??u??2.0m
（2）绳上质点的振动速度 v?dydt??0.5?sin2.5?(t?x2.5) 则 vmax=1.57m?s?1
（3）t?1s时的波形方程为 y1?0.20cos(2.5???x)
t?2s时的波形方程为 y2?0.20cos(5???x)
波形图如图7－1（a）所示。
x?1.0m处质点的运动方程为 y??0.20cos2.5?t
振动图线如图7－1（b）所示。
(a)
习题7－1图
(b)
?27－2. 一横波沿绳传播，其波函数为 y?2?10cos2?(200t?2.0x)。 （1）求此横波的波长、频率和波速，并判断该波的传播方向； （2）求绳上质点振动的最大速度并与波速相比较。 解. （1）将已知波函数与波函数的标准形式y?Acos2?(?t?x?)比较，可得
??12.0?0.50m，??200Hz，u????100m?s?1
40
（2）振动速度为 v?dydt?2?102(?400?)sin2?(200t?2.0x) 所以 vmax?2?102?400??25m.s?1
7－3. 根据报道，1976年唐山大地震时，当地某居民曾被猛地向上抛起2 m高。设地震横波为简谐波，且频率为1 Hz，波速为3km?s?1，则地震波的波长多大？振幅多大？
解. 地震时，人被上抛离开地的速度即为地壳上下振动的最大速度，即vm?地震的振幅为 A?vm／(2??)?地震波的波长为
2gh 2gh(2??)?2?9.8?2(2??1)?1.0m
??u??31?3km
7－4. 波源做简谐运动，其运动方程为y?4.0?10?3cos240?t，由它所形成的波以（1）求波的周期及波长；（2）写出波函数。 30m?s?1的速度沿一直线传播。
解. （1）将运动方程与y?Acos??(t?xu)???比较，可得??240?s?1。故有 周期 T?2?3??8.3?3?10； s 波长为 ??uT?0.25m，
（2）将已知的波源运动方程与y?Acos(?t??)比较，可得
A?4.0?10?3m，??240?s?1，??0
故沿x轴正方向传播的波的波函数为 y?4.0?10?3cos(?2t?40?x 8?1)7－5. 波源做简谐运动，周期为0.02 s，若该振动以100m?s的速度沿直线传播，设
t?0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动。求：（1）距离波源15.0m和5.0m处质
点的运动方程和初相；（2）距离波源分别为16.0m和17.0m的两质点间的相位差。 解. （1）由题给条件得
??2?T?100?s?1， ??uT?2m
当t?0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，可得初相位????2(或3?2），若以波源为坐标原点，则波函数为 y?Acos?100?(t?x100)??2? 则据波源x1?15.0m处质点的运动方程为 y1?Acos(100?t?15.5?)；
x2?5.0m处质点的运动方程为 y2?Acos(100?t?5.5?)
其初相分别为
?1??15.5?和 ?2??5.5?
41
（若波源的初相取??3?2，则初相
?1??13.5?，?2??3.5?）
（2）据波源16.0m和17.0m两点间的相位差为 ????1??2?2?(x2?x1)???
7－6. 已知波的波函数为 y?Acos?(4t?2x)。（1）写出t?4.2s时各波峰位置的坐标表达式，并计算此时离坐标原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出
t?4.2s时的波形曲线。
t?2x?)?2?n解. （1）t?4.2s时波峰的位置由y?A决定，即要求 ?(4
将t?4.2s代入可的波峰的位置为 x?n?8.4,n?0?1,?2,?
离原点最近，即要求x为最小。据此分析，n应取8，则x??0.4m。
此波峰通过原点的时刻应是对应于n?8而x??0的时刻t?，即?(4t??2?0)?2??8 由此得 t??4s
（2）此波波长为??2?(2?)?1m。按此波长值和波峰在?0.4m处，即可画出波形曲线如图7－6所示。
习题7－6 图
7－7. 波源做简谐振动，周期为1.0?10?1?2s，并以它经平衡位置向正方向运动时为计时
起点。若此振动以u?400m?s的速度沿直线传播。求：（1）距波源为8.0m处的点P的运动方程和初相；（2）距波源为9.0m和10.0m处两点的相位差为多少？
解. 由题意，角频率为??2?T?200?s，波速u?400m?s。
?1?1初相??3?2(或－?2），则波函数为 y?Acos?200?(t?x400)?3?2?
位于xP?8.0m处，质点P的运动方程为 yP?Acos(200?t?5?2) 该质点振动的初相为?P??5?2。而距波源9.0 m和10.0 m两点的相位差为
42
???2?(x2?x1)/??2?(x2?x1)uT??2
如果波源光的初相取????2，则波函数为 y?Acos?200?(t?x400)??2? 此时质点P的运动方程为 yP?Acos(200?t?9?2)
相应的质点P振动的初相为?P??9?2，但波线上任意两点间的相位差并不改变。
7－8. 一平面简谐波在介质中传播，波速u?100m?s?1，波线上右侧距离波源 O(坐标原点)为75.0m处的点 P的运动方程为yP?0.30cos(2?t??2)。求：
（1）波向x轴正方向传播时的波动方程；（2）波向x轴负方向传播时的波动方程。
[t?(xu/??) 解法1. （1）以波源为原点O，沿x轴正向传播的波函数为 y?Acos?将u?100m?s代入，且取x?75m得点P的运动方程为 yP?Acos[?(t?0.75)??] 与题中点P的运动方程比较可得A?0.30m、??2?s-1、??2?。则所求波函数为
-1y?0.30cos2?(t?x/100)
（2）当波沿x轴负向传播时，波函数为 y?Acos[?(t?x/u)??]
将x?75m、u?100m?s-1代入后，与题给点P的运动方程比较得A?0.30m、
s[t2?x(??2?s-1、????，则所求波函数为 y?0.30co?/?1?00 )解法2.（1）如题图（a）所示，取点P为坐标原点O?，当波沿O?x轴向右的正方向传播时，由点P的运动方程，可得出以O?（即点P）为原点的波函数为
y?0.30cos[2?(t?x/100)?0.5?]
将x??75m代入上式，可得点O的运动方程为
yO?0.30cos2?t
由此可写出以点O为坐标原点的波函数为
习题7－8（a）图
y?0.30cos2?(t?x/100)
（2）当波沿O?x轴负向传播时，如题图（b）所示，仍先写出以O?（即点P）为原点的波函数为
y?0.30co?s[t2?x(/?100?) 0习题7－8（b）图
将x??75m代入上式，可得点O的运动方程为
43
yO?0.30cos(2?t??)
则以点O为原点的波函数为
y?0.30cos[2?(t?x/100)??]
7－9. 频率为50 Hz的简谐波，波速为350m?s?1。（1）沿波的传播方向，相位差为60的两点间相距多远？（2）在某点，时间间隔为10?3s的两个振动状态其相位差为多大？ 解（1）由??u/??350/50?7m和???2??x/?，可得
??x?????/(2?)?7??3/(2?)
（2） ???2???t/T?2???t?2??50?10?3??
7－10. 如题图所示为平面简谐波在t?0时的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时图中点P的运动方向向上。（1）写出
ym该波的波函数；（2）求在距坐标原点为
7.5m处质点的运动方程与t?0时该质
点的振动速度。
解. （1）从题图中得知，波的振幅
O －0.05 －0.01 0.10 0.05
P 10.0
xmA?0.10m，波长??20.0m，则波速
u????5.0?103m?s?1
习题7－10图
根据t?0时点P向上运动，可知波
沿Ox轴负方向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy轴负向运动。利用旋转矢量法可得其初相???/3。故波函数为
y?Acos[?(t?x/u)??]?0.10cos[500?(t?x/5000)??/3]
5t0?0? （2）距原点O为x?7.5m处质点的运动方程为 y?0.10cos(?t?0时该点的振动速度为 v ?(dy/dt)t?0??50?sin13?/12?40.6m?s?1
7－11. 如题图所示，波长为12m的平面简谐波向x轴负方向传播，图示为x?1.0m处质点的振动曲线，求此波的波函数。
解 由图可知质点振动的振幅A?0.40m，t?0时位于x?1.0m处的质点在A/2处并向
'Oy轴正向移动。据此可知?0???/3.又由图7－11（a）可知，t?5s时，质点第一次回到-1平衡位置，由图7-11（b）可看出?t?5?/6因而得角频率???/6s.由上述特征量可写
13 / 44
出x?1.0m处质点的运动方程为 y?0.40cos(?6t??3)
-1将波速u??/T???/2??1.0m譻及x?1.0m代入波函数的一般形式
y?Acos[?(t?x/u)??0]中，并与上述x?1.0m处的运动方程作比较，可得
?x?t(??) ?0???/2，则波函数为 y?0.40cos[61.0
2](a)
习题7－11图
(b)
7－12. 一弹性波在介质中传播的速度u?1000m?s?1，振幅A?1.0?10?4m，频率
??1000Hz。若该介质的密度为??800kg?m?3，求：（1）该波的平均能流密度；
（2）一分钟内垂直通过面积S?4?10?4m2的总能量。 解 （1）I?11?(2??)2A2u??800?(2??103)2?(1.0?10?4)2?103?1.6?105W/m2 225?43（2）W?IS?t?1.6?10?4?10?60?3.8?10J
7－13. 如题图所示，两相干波源分别在P、Q两点处，它们发出频率为?，波长为?，初相相同的两列相干波。设PQ?3?2，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P、Q发出的两列波在R处的相位差；（2）两列波在R处干涉时的合振幅。
· P 3?2 · 习题7－13图
Q · R .
解（1）两列波在R处的相位差为???2??r/??3? （2）由于???3?，则合振幅为A?2A12?A2?2A1A2cos3??A1?A2
7－14. 如题图所示，地面上波源S与高频率波探测器D相距为d，从波源S直接发出
的波与从S发出经高度为H的水平层反射后的波在D处加强，反射波线及入射波线与水平
45
层所成的角度相同。当水平层逐渐升高h距离时，在D处测不到讯号。不考虑大气的吸收。求波源S发出的波的波长。
h r1 H S · d 习题7－14图
· D A B r2 习题7－15图
解 设从点S到高为H的反射点的距离为r，则因在点D处，反射波与直接发出的波振动加强，波程差
?1?2r?d?k?
?2 ?2??1?2(r?r)?'在反射点升高h时，D处测不到讯号，反射波与直接发出的波振动相消，波程差
?2?2r'?d?k??式中 r??2
ddH2?()2， r'?(H?h)2?()2 222222代入后，得所求波长??2[4(H?h)?d?4H?d]
7－15. 题图所示是干涉型消声器结构的原理图，利用这一结构可以消除噪声。当发动机的排气噪声声波经管道到达点A时，被分成两路而后在点B处相遇，声波因干涉而相消。如果要消除频率为300 Hz的发动机排气噪声，题图中弯曲管道与直管道的长度差
?1?r?r2?r1至少应为多少？（设声波波速为340m?s）
解 声波从点A分开到点B相遇，两列波的波程差?r?r2?r1，故它们的相位差为
???2?(r2?r1)/??2??r/?
由相消静止条件???(2k?1)?，(k?0，?1，?2，?) 得 ?r?(2k?1)?/2
根据题中要求令k?0的?r至少应为 ?r??/2?u/2??0.57m
7－16. 一驻波波函数为y?0.02cos20xcos750t，求：（1）形成此驻波的两行波的振幅和速度各为多少？（2）相邻两波节间的距离多大？（3）t?2.0?10?2x?5.0?10?3s时，
处质点振动的速度多大？ m?1解（1）与y?2Acoskxcos?t比较，可得A?0.01m；u??k?37.5m.s
46
（2）由于??2?/k，相邻两波节之间的距离为?x??/2??/k??/20?0.157m （3） v ?dy??0.02?750cos20xsin750t??8.08m?s?1 dt7－17. 两列波在同一细绳上传播，它们的波函数分别为y1?0.06cos(?x?4?t)和（1）证明该细绳是做驻波式振动，并求波节和波腹的位置； y2?0.06cos(?x?4?t)。
（2）波腹处的振幅多大？在x?1.2m处，振幅多大？
解（1）将已知两波动方程分别改写为
y1?0.06cos2?(t/0.5?x/2)；y1?0.06cos2?(t/0.5?x/2)
可见它们的振幅A?0.06m，周期T?0.5s（频率??2Hz），波长??2m.在波线上任取一点P，它距原点为xP.则该点的合运动方程为
y?y1P?y2P?0.12cos(?xP)cos4??0.12cos(2?xP?)cos4?t
上式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻波的运动方程. 由2Acos2?xP??0，得波节位置
xP?(2k?1)?/4?(k?0.5)m (k?0，?1，?2，?)
由2Acos2?xP??2A?0.12m，得波腹位置
xP?k?/2?km (k?0，?1，?2，?)
（2）驻波振幅A?2Acos2?'xP?，在波腹处A?2A?0.12m；在x?0.12m处，振幅
'为 A?2Acos2?'xP??(0.12m)cos0.12??0.097m
7－18. 公路上警察用雷达测速仪监测来往车辆的速度，所用雷达波的频率为
5.0?1010Hz。测速仪所发出的雷达波被一迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频
率为1.1?10Hz的拍频。问此汽车是否已超过了限定车速100km?h。
解 由???2v?/u可得
v?u??/(2?)?3?10?1.1?10/(2?5?10)?33m/s?119km/h?100km/h 汽车超过了限定速度。
7－19. 题图中A、B处为两汽笛，其频率均为500 Hz 。汽笛A是静止的，汽笛B以
47
84104?160 m?s的速度向右运动。在两汽笛之间有一观察者O，他以30 m?s?1的速度也向右运动。已知空气中的声速为330 m?s?1。求：（1）观察者听到来自汽笛A的频率；（2）观察者听A 到来自汽笛B的频率；（3）观察者听到的拍频。
解已知u?330m?s，vSA?0，
?1?1vO
vsB
· ·O 习题7－19图
· B
vSB?60m?s?1，v0?30m?s?1，??500Hz；根据???u?v0? , 得 u?v(1) 由于观察者远离波源A运动，v0应取负号，故观察者听到来自波源A的频率为 ???330?30?500?454.5Hz
330(2) 观察者向着波源B运动，v0取正号；而波源B远离观察者运动，vSB也取正号，故观察者听到来自波源B的频率为 ????330?30?500?461.5Hz
330?60(3) 拍频 ??????????7Hz
7－20. 远方一星系发来的光的波长经测量比地球上同类原子发出的光的波长增大到
32倍。求该星系离开地球的退行速度。
解 由于??c?vc?v3?S，则 ???S??S c?vc?v2c?v3?， c?v25c?1.2?108m?s?1 13
即
所以 v?
48
第8章 气体动理论
8-1 如果将1.0?10kg的水分子均匀地分布在地球表面上，则单位面积上将约有多少个水分子?
解 单位面积上的水分子数为 n?NS?MNA3?4?R2?6.56?107m?2
8-2 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的．若此理想气体的压强为1.35?10Pa，试估计太阳的温度．(已知氢原子的质量mH?1.67?10?27kg，太阳半径RS?6.96?108m，太阳质量，ms?1.99?1030kg．)
解 氢原子的数密度 n?mS(mHVS)?mS(mH??R)
3由 p?nkT ， 太阳温度为 T?pnk?4?pmHRS(3mSk)?1.16?107K
144338-3 一容器内储有氧气，其压强为1.01?10Pa，温度为27.0℃，求：(1)气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列．)
解 （1）单位体积的分子数 n?p/kt?2.44?1025m?3 （2）氧气的密度 ??M/V???/RT?1.30kg?m?3 （3）氧气分子的平均平动动能 ?k3kT?6.21?10?21J （4）氧气分子的平均距离 d??2?33531?3.45?10?9m n 8-4 2.0?10kg氢气装在4.0?10m的容器内，当容器内的压强为3.90?10Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大? 解 氢气的温度 T?氢气分子平均平动动能 ?k?3kT33?pVMR
2?3pV?j/(2MR)?3.89?10?22J
?5?5 8-5一体积为1.0?10m的容器中，含有4.0?10kg的氦气和4.0?10kg的氢气，
它们的温度为30℃，试求容器中混合气体的压强。 解 pHe?MHeRTMRT?2.52?104Pa pH?H?5.04?104Pa
?HeV?HV4由道尔顿分压定律 p?pH?pHe?7.56?10Pa
49
8-6一封闭的圆筒，内部被导热的、不漏气的可移动活塞隔为两部分。最初活塞位于筒中央，则圆筒两侧的长度l1?l2，当两侧各充以T1,p1与T2,p2的相同气体后，问平衡时活塞将在什么位置上（即l1/l2是多少）？
（已知p1?1.013?105Pa,T1?580K，p2?2.026?105Pa，T2?280K）。 解 由题意及理想气体方程 l1?l2 则 V1?sl1?sl2?V2 左侧气室
pVpV?pVpV2?11 ?1 右侧气室 22?T1TT2TV1?sl1l1p1T27 ????V2?sl2l2p2T134则有
8-7 计算在300 K温度下，氢、氧和水银蒸气分子的方均根速率和平均平动动能。 解
2vH?3RT?H3RT?3?8.31?300?1 ?193m4?s?32?103?8.31?300?484m?s?1 ?332?103?8.31?300?1.93m?s?1 ?3201?102 vO??O3RT? vHg?2?Hg? ?H??O??Hg?3kT?6.21?10?21J 28-8 温度为O℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平 均平动动能等于1 eV，气体的温度需多高?
解 分子0℃和100℃施平均平动动能分别为
?1?3kT1/2?5.65?10?21J ?2?3kT2/2?7.72?10?21J 由 1eV?1.6?10?19J， 所以 T?2?K/3k?7.73?103K
88-9 某些恒星的温度可达到约1.0?10K，这也是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度．在此温度下，恒星可视为由质子组成，问：(1)质子的平均动能是多少?(2)质子的方均根速率为多大?
解（1） ?k?（2）
13mv2?kT?2.07?1015J 22v2?3kT?1.58?106m?s?1 m 8-10求温度为127.0℃时氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。
50