第四部分 带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题

1．临界问题：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于磁场边界的存在及速度大小和方向、磁感应强度的大小和方向的不确定性，往往引起粒子运动的临界问题。

2．粒子圆周运动的多解问题：

（1）带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。 （2）磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。 （3）临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同，分别求解。 （4）圆周运动的周期性形成多解。 3．方法技巧总结：

（1）利用极限思维法求解带电粒子在磁场中的临界问题：

极限思维法是把某个物理量推向极端（即极大和极小）的位置，并以此作出科学的推理分析，从而做出判断或导出一般结论的一种思维方法。

分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的临界问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端（如极大、极小；最上、最下；最左、最右等），结合几何关系分析得出临界条件，列出相应方程求解结果。

（2）常见的三种几何关系：

a．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

b．当速率v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 c．当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长。 （3）两种动态圆的应用方法：

a．如图所示，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上，速度增大时，轨道半径随之增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆，与右边界相切的圆即为临界轨迹。

b．如图所示，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点O为圆心、以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。利用动态圆可以画出粒子打在边界上的最高点和最低点。

（4）求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧： a．分析题目特点，确定题目多解性形成原因。

b．作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。

c．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 【典例1】一电子在磁感应强度为B的匀强磁场中，以一固定的正电荷为圆心在同一圆形轨道上运动，磁场方向垂直于运动平面，静电力恰好是磁场作用在电子上洛伦兹力的3倍，电子电荷量为e，质量为m，那么电子运动的角速度可能为

A．4Be3BeBe2Be C． D． B．mmm2m【答案】AC v2【解析】当洛伦兹力方向和电场力方向相同时，有：F电?evB?m?mv?①，其中：F电=3evB ②，r联立①②解得：??4eB；当洛伦兹力方向和电场力方向相反时，有：F电-evB=mvω ③，联立②③得：m??2eB，故BD错误，AC正确。 m【名师点睛】本题在电磁场中结合电场力和洛伦兹力考查了圆周运动问题，关键是熟练运用向心力公式的各种表达式正确解答；由于不知道磁场方向和电荷运动方向，但是知道洛伦兹力和速度垂直，因此分洛伦兹力指向圆心和背离圆心两种情况进行分析。 【典例2】如图所示，在半径为a（大小未知）的圆柱空间（图中圆为其横截面），固定放置一绝缘材料制成的边长为L的弹性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上。在三角形框架DEF与圆柱之间的空间中，充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于圆柱轴线垂直纸面向里。在EF边上的中点S处有一发射带电粒子的粒子加速器，粒子发射的方向均在截面内且垂直于EF边并指向磁场区域。发射粒子的电量均为q（q>0），质量均为m，速度大小均为v=

qBL，若粒子与三角形框架的碰撞均没有动能6m损失，且粒子在碰撞过程中所带的电量不变。（不计带电粒子的重力和带电粒子之间的相互作用）求：

（1）为使初速度为零的粒子速度增加到v=

qBL，在粒子加速器中，需要的加速电压为多大； 6m（2）带电粒子在匀强磁场区域内做匀速圆周运动的半径；

（3）若满足：从S点发射出的粒子都能再次返回S点，则匀强磁场区域的横截面圆周半径a至少为多大？

（4）若匀强磁场区域的横截面圆周半径a满足第（3）问的条件，则从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点的时间是多少。

?111πm3?LqB2L2?L （4）? 【答案】（1） （2） （3）???qB63672m??【解析】（1）在粒子加速器中，带电粒子在电场中被加速，根据动能定理

12qB2L2qU=mv，解得U=

272mmvLv2= （2）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，qvB=m，解得r=qB6r（3）设想某个带电粒子从S发射后又能回到S，则带电粒子运动轨迹如图所示

当带电粒子的运动轨迹同磁场区域内切时，磁场区域半径有最小值amin，由几何关系得

13?3L???L amin=OG=OF＋FG=r＋=??3?63??