高考总复习·数学理(江苏专用)第一篇 集合与常用逻辑用语
其中A(了解)；要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．C(掌握)：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．(下同)
在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质．常用逻辑用语重点考查四种命题及其相互关系、充要条件，主要出现在填空题、解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、新增加的量词近几年没有在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了
解性知识只是考查其最基本的含义．
从考纲要求及近几年的试卷分析，特提出以下几点备考策略：
1．集合主要以小题形式考查，涉及集合的表示方法、集合之间的关系和运算，常与其他知识交汇(如方程、不等式、函数等)，要学会不同数学语言之间的转换．
2．对于充要条件，要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断，对于充要条件，复习时要给已足够的重视．
3．其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求．
第1讲 集合的概念与运算
基础梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，分别用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．
nn
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2个，A的非空子集有2－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}； 交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}； 补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
U为全集，?UA表示A相对于全集U的补集． (2)集合的运算性质 并集的性质：
A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：
A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：
A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)． (3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
1．(2011·南京模拟)已知全集U＝R，Z是整数集，集合A＝{x|x2－x－6≥0，x∈R}，则Z∩?UA中元素的个数为________．
解析 ?UA＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以Z∩?UA＝{－1,0,1,2}，共有4个元素． 答案 4 2．(2011·镇江调研)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，则?U(A∩B)＝________.
解析 由A∩B＝{1,3}，得?U(A∩B)＝{2,4,5,6}． 答案 {2,4,5,6} 3．(2011·扬州调研)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，则P∩(?UQ)＝________.
解析 ?UQ＝{1,4}，P∩(?UQ)＝{1,2}∩{1,4}＝{1}． 答案 {1} 4．(2011·泰州调研)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝________. 解析 N＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，所以M∩N＝{x|x＜3}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x＜3}． 答案 {x|2＜x＜3} 5．(2011·南京三模)如下图，已知集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．
解析 即求属于集合A又属于集合C但不属于集合B的元素构成的集合． 答案 {2,8}
考向一 集合的基本概念
【例1】?设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________． [审题视点] 用列举法可求得集合P＋Q.
解析 P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，因此P＋Q中元素个数为8，故填8. 答案 8
集合中元素的互异性和无序性，其中互异性既是解题的依据，又可以检验结果是
否正确．
【训练1】 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P－Q＝{a|a∈P但a?Q}，若P＝{a|a是小于10的自然数}，Q＝{b|b是不大于10的正偶数}，则P－Q中元素的个数为________． 解析 因为P＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，Q＝{2,4,6,8,10}，所以P－Q＝{0,1,3,5,7,9}，故P－Q中元素个数为6. 答案 6
考向二 集合的基本运算
【例2】?(2011·山东省济宁模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜4}
和N＝{x||x－1|＜2}的关系是韦恩(venn)图如图，则阴影部分所表示的集合是________． [审题视点] 集合的运算是用韦恩图给出，阴影部分的含义是集合M与N的交集M∩N.
解析 由2x＜22，得x＜2，所以M＝{x|x＜2}；由|x－1|＜2，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3，
所以N＝{x|－1＜x＜3}．
因此，所求阴影部分表示的集合是M∩N＝{x|－1＜x＜2}，故填{x|－1＜x＜2}． 答案 {x|－1＜x＜2}
集合的运算除交集、并集与补集外，还可以用韦恩图表示集合间的关系或运算，
也可以定义新的运算．
【训练2】 已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，下图中阴影部分所表示的集合为________．
解析 阴影部分表示的集合是由集合A中元素去掉属于B中元素构成的，即由A中小于2的元素构成的，故所求集合为{1}． 答案 {1}
考向三 集合间的基本关系
【例3】?已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[审题视点] 若B?A，则B＝?或B≠?，故分两种情况讨论． 解 当B＝?时，有m＋1≥2m－1，得m≤2. m＋1≥－2，??
当B≠?时，有?2m－1≤7，
??m＋1＜2m－1，
解得2＜m≤4.
综上，m≤4，即m的取值范围是(－∞，4]．
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而
转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．
11??
【训练3】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝?－1，0，2，1，2，3?的
x??
所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________．
?1??1??1??，2?，?，－1，2?，?，1，2?，解析 根据元素个数，得这样的集合为{－1}，{1}，{－1,1}，?2??2??2?
1??
?－1，1，，2?，共有7个．
2??
答案 7
难点突破1——集合问题的求解策略
集合在高考中仅出一道填空题，集合间的关系及运算是考查的重点，同时集合也可能与函数、不等式、解析几何、向量等内容进行综合考查，另外，在新情境下对集合问题进行考查，也应值得我们关注．
一、集合与解析几何的解题策略 【示例】 (2011·广东卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．