Subject to
?ur?1sryrj??vixij?Ij, j?1,?,n,
i?1m?Ij?1nj?1, (13)
Ij?{0, 1}, j?1,?,n,
ur?1, r?1,?,s,
(m?s)max{yrj}jvi?1, i?1,?,m,
(m?s)max{xij}j其中Ij (j?1,sm,n)是二元变量,且只有一个变量可以取非零值1。如果Io?1,那么约束条件
?uryrj??vixij?Ij 对应的 DMUo的约束为
r?1i?1smr?1i?1?r?1uryro??i?1vixio?1, 即允许DMUo的效率值大于1，而
?uy??vxrrjr?1i?1smiijsm其余的DMU的约束?uryrj??vixij?Ij与原始的CCR模型的约束相同, 也就是 意的j?{1,?0对于任
,n}除了j?o。 因此, 只有最有效的决策单元的效率值会大于1，而其余决策单元的效率均小
于等于1。权重约束沿用 (Sueyoshi, 1999[22])提出的松弛变量模型中的形式，该约束形式在实际应用中被广泛采用，即ur?(1/((m?s)max{yrj})) (r?1,j,s);vi?(1/((m?s)max{xij}))对于任意的 (i?1,j,m).
2. 基于投入导向的BCC模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法
模型(13)是基于不变规模收益下的最优决策单元的选择方法。该方法可以拓展到可变规模收益的情形如下所示，该模型的形式是基于投入导向的BCC模型下的形式 ：
s?n??n?Minimize ?vi??xij??nv0??ur??yrj?
????i?1r?1?j?1??j?1?mSubject to
?ur?1sryrj??vixij?v0?Ij, j?1,?,n,
i?1m?Ij?1nj?1, (14)
Ij?{0, 1}, j?1,?,n,
ur?1, r?1,?,s,
(m?s)max{yrj}jvi?1, i?1,?,m,
(m?s)max{xij}jv0 无符号限制.
3. 基于产出导向的BCC模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法
同理可得，基于产出导向的可变规模收益的BCC形式下的混合整数线性规划模型如下：
?n?s?n?Minimize ?vi??xij???ur??yrj??nu0
????i?1?j?1?r?1?j?1?mSubject to
?ur?1ssryrj?u0??vixij?Ij, j?1,?,n,
i?1m?ur?1ryrj?u0?0, j?1,?,n,
?Ij?1nj?1, (15)
Ij?{0, 1}, j?1,?,n,
ur?1, r?1,?,s,
(m?s)max{yrj}jvi?1, i?1,?,m,
(m?s)max{xij}ju0 is free in sign,
其中约束条件
?ur?1sryrj?u0?0 (j?1,?,n)是为了保证全体产出是非负的，因为负的产出没有意义。
（七）举例说明
下面用3个例子来说明DEA方法的应用。
例1：假设现有七个被评价的决策单元，投入、产出项各有一项，投入项为X，产出项为Y，输入如下表所示。此时七个决策单元的相对位置如图5—2所示。在CCR模型下，连接原点与点B的射线构成前沿面，如图中所示，其余的点均位于该前沿面的下方。
表5—2 七个决策单元的投入、产出数据
DMU A B C D E F G
X 2 3 8 6 5 10 7
Y 1 3 6 2 4 6 4.5
Efficiency 0.5000 1.0000 0.7500 0.3333 0.8000 0.6000 0.6429
产出 8 7 6 C F 5 G 4 E 3 B 2 D 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 投入 图5—2 七个决策单元的分布及其在生产前沿面上的投影
从图2中可以看出，只有决策单元B位于生产前沿面上，而其他所有决策单元均位于该生产前沿面的下方，即A, C, D, E, F, G均为非DEA有效，从表5—2最后一列的效率值大小也很容易得到确认。为了使非DEA有效决策单元为DEA有效，可依图中箭头所示的方向将非DEA有效的决策单元往前沿面上投影。A, C, D, F, G均为减小投入而保持产出不变；而E给出了三种投影方式(减小投入产出不变；保持投入不变增大产出；或者同时减小投入和增大产出)。
例2: 五个先进制造技术的甄别, 数据来源于Wang和Chin(2009)[23]。
表5—3 五个先进制造技术的数据及其乐观、悲观以及几何平均值
投入
决策单元
A
B C D E
X1 40 32 52 35 32
X2 7 12 20 13 8
产出 Y 210 105 304 200 150
乐观效率值 1.0000 0.5639 1.0000 0.9838 0.8580
悲观效率值 1.6000 1.0000 1.7371 1.7415 1.4286
几何平均值 1.2469 0.7509 1.3180 1.3089 1.1071
对于每一个决策单元而言，可通过求解模型(2)和(12)获得全体DMUs的乐观和悲观效率，结果如上表所示。下面简单介绍一下求解过程和技术实现。以第一个决策单元的CCR效率(即乐观效率)为例，将数据代入模型(2)即得模型(16)，显然这是个较为复杂的线性规划模型，需要借助软件计算才会更为简便。因此本书分别给出了Lingo以及Matlab下的CCR模型的编程。Lingo的编程一次也只能计算一个(见下面程序后的计算说明)，而Maltab程序相对而言更为简便，其可以很快地计算出所有决策单元的效率。此例中通
过软件计算所得，在乐观效率下，所得效率为表5—3的第五列所示，全体单元的优序关系为： C=A>D>E>B。，决策单元A与C均为DEA有效，而B, D, E为非DEA有效。在悲观模型下，所得的效率值为表5—3的第六列所示，决策单元B为DEA无效，而其他单元均为非DEA无效，其优序顺序为：D>C>A>E>B。由此可见，在乐观前沿面和在悲观前沿面下的排序存在着一定的差异。表5—3的最后一列的值为乐观和悲观效率的几何平均值，显然Wang等人(2007)提出的该几何平均值较好的综合了乐观和悲观前面的两部分信息，从而五个单元合理的排序为：C>D>A>E>B。
Maximize ?1?210?1?40?1+7?2=1, ?? 210?1?(40?1+7?2)?0,? 105?1?(32?1+12?2)?0, (16) ?subjectto? 304?1?(52?1+20?2)?0,? 200??(35?+13?)?0,112??150?1?(32?1+8?2)?0,?? ?1?0,?1?0,?2?0. 下面给出LINGO与Matlab的程序：
例2的LINGO程序实现：(以计算第一个决策单元的乐观效率为例)
MODEL: sets:
DMU/1..5/:S,T,P; !Decision making units; II/1..2/:w; !input index; OI/1/:u; !output index;
IV(II,DMU):X; !input variable; OV(OI,DMU):Y; !output variable; endsets data:
P=1 0 0 0 0;
X=40 32 52 35 32 7 12 20 13 8; Y=210 105 304 200 150; enddata
max=@sum(DMU: P*T); @for(DMU(j):
S(j)=@sum(II(i): w(i)*X(i,j)); T(j)=@sum(OI(i): u(i)*Y(i,j)); S(j)>=T(j));
@sum(DMU:P*S)=1; END
在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分别替换为 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), 可得5个决策单元的最优效率值依次为
1.0000， 0.5639， 1.0000， 0.9838， 0.8580。
例2的Matlab程序实现： clear all;
X=[ 40 32 52 35 32