9.4 双曲线及其性质
【考情探究】
5年考情
考点
内容解读
考题示例
考向
关联考点
预测热度
1.双曲线的定义及标准方程
2.双曲线的几何性质
①了解双曲线的定义,并会用双曲线的定义解题
②了解求双曲线标准方程的基本步骤(定位、定型、定值)和基本方法(定义法和待定系数法)
①知道双曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用性质解决一些简单的双曲线问题
②理解双曲线离心率的定义,并会求双曲线的离心率
2014北京文,10
双曲线的标双曲线的几准方程 何性质
★★★
2019北京文,5
离心率
2018北京文,12
2016北京,13
2016北京文,12 渐近线 2015北京,10
★★★
分析解读 从高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点.离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想和转化与化归思想的应用.
破考点 练考向 【考点集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2015天津文,5,5分)已知双曲线??2-??2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)+y=3相切,则双曲线的方程为( )
A.9-13=1 B.13-9=1 C.3-y=1 D.x-3=1
1
??2??2
??2??2
??2
2
2
2
2
??2??2
??2
答案 D
2.(2018北京石景山期末,5)“m>10”是“方程??-10-??-8=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
3.(2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:??2-??2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
12
3??2??2
??2??2
??2
??2
√5A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
810
4
5
5
4
4
3
??2??2??2??2??2??2??2??2
答案 B
考点二 双曲线的几何性质
4.(2018北京丰台期末,7)过双曲线??2-??2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线,垂足为A,O为坐标原点,若|OA|=2|OF|,则此双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 答案 C
5.(2016北京,13,5分)双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直
??
????2??2
1??2??2
线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= . 答案 2
6.(2018北京朝阳二模,10)双曲线x-y=λ(λ≠0)的离心率是 ;该双曲线的两条渐近线的夹角是 . 答案 √2;
2
π
2
2
炼技法 提能力 【方法集训】
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.(2018北京东城二模,4)已知双曲线C:??2-??2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°,且与椭圆5+y=1有相等的焦距,则双曲线C的方程为( )
2
??2
2
??2??2
A.-y=1 B.-=1
3
9
3
??2
2
??2??2
C.x-3=1 D.3-9=1 答案 C
2.(2016天津文,4,5分)已知双曲线??2-??2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( ) A.-y=1 B.x-=1 C.
4
4
??2
2
2
2
??2??2??2
??2??2
??23??23??220
-5
=1 D.
3??23??25
-
20
=1
答案 A
3.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:2-2=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C
??
??
4
??2??2
5
的方程为( )
A.4-3=1 B.9-16=1 C.16-9=1 D.3-4=1 答案 C
??2??2
??2??2
??2??2
??2??2
方法2 双曲线的渐近线与离心率的求法
4.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4所截得
??
????2??2
2
2
的弦长为2,则C的离心率为( ) A.2 B.√3 C.√2 D.答案 A
5.(2020届北京人大附中开学摸底,9)双曲线C:4-y=1的离心率是 ,渐近线方程是 . 答案
√52
??2
2
2√33
;y=±x
2
??2
2
1
6.(2019北京通州期末文,10)若点P(2,0)到双曲线2-y=1(a>0)的一条渐近线的距离为1,则
??
a= . 答案 √3
【五年高考】
3
A组 自主命题·北京卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
(2014北京文,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-√2,0),(√2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为 . 答案 x-y=1
2
2
考点二 双曲线的几何性质
1.(2019北京文,5,5分)已知双曲线2-y=1(a>0)的离心率是√5,则a=( )
????2
2
A.√6 B.4 C.2 D. 2答案 D
2.(2013北京文,7,5分)双曲线x-=1的离心率大于√2的充分必要条件是( )
??
2
1
??2
A.m> B.m≥1
2
1
C.m>1 D.m>2
答案 C
3.(2013北京,6,5分)若双曲线2-2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( )
??
????2??2
A.y=±2x B.y=±√2x C.y=±2x D.y=±2x 答案 B
4.(2018北京文,12,5分)若双曲线2-=1(a>0)的离心率为,则a= .
??
4
2
??2??2
1
√2√5答案 4
5.(2015北京文,12,5分)已知(2,0)是双曲线x-2=1(b>0)的一个焦点,则b= .
??
2
??2
答案 √3
6.(2017北京,9,5分)若双曲线x-??=1的离心率为√3,则实数m= . 答案 2
7.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与4-x=1具有相同渐近线,则C的方程
??2
2
2
??2
4