第七次 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
一 填空题
sin(?)21）、设f(z)＝???zd?，其中z?2,则f'(3)?__________。
??2?ezdz?__________。 2）、设C为负向圆周z?4，则?5c(z??i)3）、设C为任意实常数，那么由调和函数u?x2?y2确定的解析函数是 。
4）、若函数u(x,y)?x3?axy2为某一解析函数的虚部，则常数a? 。 二 计算下列积分 （1）
f(z)?u?ivcoszdz,其中c1:z?2为正向，c2:z?3为负向； 3?c?c1?c2z2z2?z?1dz,c:z?2; （2）?2?(z?1)c
（3）
13
1dz,其中C为复平面内不过?1的一条正向简单闭曲线。 33??(z?1)(z?1)c三 下列各已知调和函数求解析函数(1) u?
四、证明u?x
五、设v?epxsiny,求
六、计算积分
2f?z??u?vi
?x?y??x2?4xy?y2?; (2) v?y,f?2??0; 22x?y?y2,v?x都是调和函数，但是f(z)?u?iv不是解析函数。 22x?yp的值使v为调和函数，并求出解析函数f?z??u?iv。
?1?2cos?1dz的值，并由此计算?Cz?2?05?4cos?d??0
14
第八次 复数项级数 幂级数
一、填空题 （1）若幂级数
??c(z?i)在z?i处发散，那么该级数在z?2处的敛散性为 。
nnn?0n2n?1（2）幂级数
?(2i)zn?0?的收敛半径R= 。
（3）极限lim2n?ni? 。
n??1?ni（4）幂级数
?(n?1)zn?0?n的和函数为 。
二、下列数列{an}是否收敛？如果收敛，求出它们的极限。
1）anii?(1?)?n； 2）an?(?1)n?； 3）an?n2n?1sinin
三、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。
?(6?5i)ncosin1）?； 2） ?nn8n?0n?02?
?2ne2ni 3）?； 4）? sininnn?0n?0?
15
四、求下列幂级数的收敛半径。
?(n!)2n1）?nz ； 2）?ei?/nzn ；
n?1nn?1? 3）
n2n； 4）(1?i)z(3?4i)z ??nnn?1n?1??
五、把下列各函数展开成z的幂函数，并指出它们的收敛半径。
1）
??11； 2）； 1?z3(1?z2)2?六、求?n(n?1)(2i)?n的值。
n?2
16