的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数?等概念都是在一定的理论基础上提出来的。还有一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得来的．还要指出，数学中许多概念随着数学的发展而发展成为新的概念．例如，从具有公共端点的两条射线所成的角的概念发展成为射线绕它的端点旋转所成的角的概念就是一个明显的例子．又如关于几何量角的三角函数发展成为实数的三角函数也是一个例子．

由此可见，数学概念的产生和发展的过程是非常复杂的，但不管数学概念的形成如何复杂，也不管其如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的．

3．什么是概念的外延和内涵？分别举出代数、几何中的几个概念，说明其外延与内涵．

答：一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延，而它所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．

例如，在自然数系中，偶数这个概念的外延是0，2，4，6，8，…，2n，…等数组成的集合，它的内涵是“能被２整除”这个性质．又如，三角形ABC的顶点这个概念的外延是指A、B、C三点的集合．它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质．

4．什么是概念的定义？常用的定义方法有哪几种？举例说明．正确的定义应符合哪些要求？

答：定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对

33

象的本质属性．常用的定义方法有以下几种：

（1）属概念加种差定义法．我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．

（2）发生式定义法．不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．

（3）揭示外延定义法．有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．

（４）归纳定义法．例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．

给概念下定义的要求有：

（１）定义应当相称．即必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们又如，不能把“有理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2等等．已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．

（２）定义不能恶性循环．如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．

（３）定义一般不用否定形式．定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定

34

形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．

（４）定义中应没有多余的条件．定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．

５．什么叫概念的分类？它的作用是什么？正确的分类应符合哪些条件？两个交叉关系的概念能否同在一个概念的分类中出现？

答：把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的分类．

通过概念的分类可以揭示被分类概念的外延以及概念间的各种关系，并把概念知识系统化．在数学教学中，常常用分类方法把所学概念

正确的分类应符合下列条件：

（１）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．

（２）分类应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．

（３）每次分类都应按照同一个依据进行．在一次分类中用不同的根据就造成了混乱．

（４）分类不应越级．应把属概念分为最邻近的种概念． 两个交叉关系的概念不能同在一个概念的分类中出现．

６．对于原始概念、用概念形成的形式引入的概念、概念同化形式引入的概念（分别对各种不同类型）、发生式定义引入的概念，在概念引入的教学中各有何注意点？结合实例加以说明．

答：（１）对于原始概念的的引入：一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并让学生领会点只表示位臵，而没有形状、大小．尽管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和意义的

35

（因为原始概念的意义只由公理系统规定），但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．

（２）对于用概念形成的形式引入的概念：一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自然悬挂的电灯线与天花板的相互位臵，回顾把一根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝试描述其本质属性．

（３）对于用同化形式引入的概念：①用属概念加种差定义的概念．这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．几何概念的学习大多属于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例，它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自己特有的属性——种差．②由概念的推广引入的概念．概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了概念间的联系和概念的深化．例如，绝对值的概念随着数系的扩充而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．在运用概念的推广来引入新概念时，必须注意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用；二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况，但不能再局限在原来的范围，不能再停留在旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消极影响，给学生的进一步学习造成心理障碍．③采用对比方法引入新概念．当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时，可采用对比方法引入新概念，这在心理学中属于并列结合学习．例如可以对比分数来引入分式；对比等式来引入不等式；对比三角形全等来引入三角形相似等等．④根据逆反关系引入新概念．这在心理学中也属于并列结合学习．例如由多项式的乘法引入多项式的因式分解；由乘方引入开方；由指数引入对数；由三角函数引入反三角函数等等．教学中特别要注意的是讲清两者之间的逆反关系，这样，学生才能把新概念同化而纳入原认知结构．

（４）对于用发生式定义的概念：这是用对象被构造出来的过程下的定义．在

36