用．

演绎和完全归纳是必然性的推理，是严格的科学证明方法．在数学的论证推理中，演绎是最基本的、最主要的方法，因为在用完全归纳法时，在对所研究对象的一切情况进行讨论的每个具体过程中，常常都要用演绎的方法．这一点，在数学归纳法中表现得特别明显．数学归纳法属于完全归纳法，总体上是归纳，而每一步又是演绎．单纯演绎推理没有想象的成分，这使得演绎推理具有了严谨性，然而它的创造性也比较小．在一定前提下，由演绎可以获得推出知识．不完全归纳和类比只是或然性的推理，但却是猜想的重要来源，有助于发现结论，作出判断，有时也能从中得到证明方法的启示．对于数学科学，最重要的是结论及其证明，但在中学数学教学中，还应重视结论引入的方法，让学生了解和体会是如何想到这些结论的，并逐步学会运用不完全归纳和类比这两种推理．这有助于形成和发展辩证思维和创造性思维，有助于培养分析问题和解决问题的能力．这正是传统数学教学比较忽视的．当前的数学教学改革对此已给予了高度的重视．当然，由不完全归纳和类比得到的结论，还要用其它方法研究其是否正确．正确的要用演绎法或数学归纳法加以证明，不正确的，要举出反例．以上两方面在数学归纳法研究中是互相结合，相辅相成的．最典型的，体现于用数学归纳法研究问题的完整过程中．第一步是观察、实验；第二步是进行不完全归纳，猜想出结论；第三步是用数学归纳法加以证明．

17．什么是数学证明？直接证法与间接证法的区别是什么？ 答：应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明．

由论题的已知条件和已知定义，公理，定理等作为论据，运用逻辑推理法则来证明论题结论真实性的证明方法，叫做直接证法．间接证法不是直接证明论题的真实性，而是证明反论题不真，或者证明与论题等效的命题的真实性，或者在互逆命题等效的条件下，通过证明论题的逆命题的真实性，从而肯定论题的真实性的一种证明方法．

18．什么是综合法、分析法？试深刻比较它们的异同与优缺点．

答：在数学的证明中“由因导果”的方法通常称为综合法，而“执果索因”的方法称为“分析法”．

综合法与分析法的逻辑依据是相同的，都是蕴涵的传递性，只是思考的顺序

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相反．其中每个蕴涵都是已知的真命题．在数学中，证明一般都用综合法表述，因为综合法显得简捷，逻辑关系表现得很清楚．但是在数学教学中，综合法的表述常表现出它的弱点，每一步是在做什么，怎样做，并不那么容易看清楚，而每一步怎么想到的更容易使人困惑，尤其困难的是如何找出作为论证出发点的真命题，还有，为什么取那一个真命题为出发点也很难说清楚．因此，在教学中照本宣科地用综合法来论证，学生不仅难以弄明白，而且往往觉得是人为地想出来的．一般地，用分析法思考时，要给予论证的命题本身就是出发点，学生知道了应当从什么地方开始工作，就能够自觉地，充满信心地思考．显然综合法与分析法各有其优缺点，可以互相补充，各自的优点正好可以弥补另一方的不足．在实际论证一个命题时，先用分析法思考，发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，这常常是行之有效的方法，在数学教学中尤其应注意这一点．当然，分析法并不是总是行得通的．还有，对于一个论题，特别是较为复杂的论题，在实际思考探索它的证明时，常常不是单一地循着一个顺序，而是可以同时从题设和题断出发，分别使用综合法与分析法．逐步过渡到一个共同的中间过程，从而使思路得以接通．

19．什么是逆证法？它与分析法有何异同？逆证法的应用有何局限性？常在哪些情况下使用？

答：要证明“若A则D”．逆证法的证明过程如下：

1）证明D?C?…?B?A； 2）上面每一步的推理都是可逆的． 则得出“A?D”．

分析法与逆证法虽然都是以题断为出发点，但分析法的每一步都是寻求使一个命题成立的充分条件，而逆证法的1）中每一步是寻求使一个命题成立的必要条件．逆证法的1）是证了命题“若D则A”为真，因此2）是重要的，不可缺少的，也不能只是形式上说一说，必须每一步都加以真正检查．逆证法的2）实际上是保证了1）的每一步中，后者也是前者的充分条件，即D?C?…

?B?A，从而证得“A?D”．因此，逆证法在逻辑上是成立的．

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逆证法常常在证明不等式或恒等式等情况使用，首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难．但在一般情况下使用逆证法并不省事．

逆证法有明显的局限性，它只适应于证明部分特殊命题，即题设与题断互为充要条件的命题，而分析法则具有普遍意义．可以使用逆证法的，当然可用分析法，但反之则不然．

20．反证法的逻辑基础是什么？并用等值公式表示出来．在实际应用反证法时，对于简单命题和条件命题，又具体表现为怎样的等值公式？

答：反证法的逻辑基础是形式逻辑的排中律，原论题A和它的反论题?A是矛盾关系，其中必有一个为真，得出反论题?A为假，那么原论题A必真．或者说反证法的逻辑基础是等值公式：?A?F?A （?）（事实上，显然有：

?A?F???A?F?A?F?A），它表明要证A为真，可转化为证?A?F真，

即在肯定?A时，证?A?F．

当A为一个简单命题P时，等值公式（?）表现为前面的等值公式：

p??p?(r??r)

当A为条件命题“p?q”时，?A为?(p?q)，利用真值表很容易直接验证出：?(p?q)?p??q．即是说“p?q”的反命题是p??q．这时等值公式（?）表现为前面的等值公式：p?q?(p??q)?(r??r) 21．什么是同一法？从本质说，同一法与逆证法的关系如何？

答：我们知道，一个定理的逆命题在一般情况下是不成立的，但在特定条件下，即在定理的条件和结论所指概念的外延具有全同关系时，它的逆命题也成立．在这个情况下，证题时往往先构造论题的逆命题，并且证明这个逆命题的真实性，然后指出逆命题中题设所指的对象与原命题结论所指对象是同一对象，从而肯定原命题的真实性．这种证明方法称为同一法．

同一法与前面谈过的逆证法有某些相似之处，在适用范围上，都是只适用于题设和题断互为充要条件的那些特殊命题．在证明的步骤上第一步实际都是先证

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逆命题为真．但它们证明的第二步是不同的，逆证法是根据每一步可逆，相当于用综合法证原论题，而同一法是根据同一法则． 22．定理、公式的教学要掌握哪几个环节？

答：（1）使学生切实分清定理、公式的条件与结论．这既是弄清命题本身的要求，又是对命题进行证明的前提，也是应用命题来解决问题的需要．（2）弄清与定理、公式有关的概念．定理、公式与数学概念密切联系着，表达人们应用数学概念所作出的正确判断．因此，弄清与定理、公式有关的概念，是学习定理、公式的前提．（3）使学生掌握所学定理、公式的证明方法．定理（公式）的证明是定理的重要组成部分，是定理教学的重点，也是整个中学数学教学的重点之一．处理好定理证明的教学，可以使学生建立起所学定理与已有认知结构间的联系，加深对定理的理解，从而感到心理明白，记忆牢固，用起来踏实．许多定理的证明方法本身就是重要的数学方法，所以定理的证明不仅是得出结论的手段，它本身也是学生学习的重要内容．定理证明的教学还是学生学习思维方法，发展思维能力，培养良好的思维品质和思维习惯的最为重要的过程．

习题９

１．在数学教学中，为什么要培养学生的能力？

答：培养能力，是时代赋予我们教师的任务．世界各国的教育家很早就认识到培养学生能力的重大意义．我国古代教育早就有“举一反三”、“触类旁通”的教学经验的概括．而古人的“授人以鱼，供一饭之需；教人以渔，则终身受益”更是精辟地指出了培养学生能力和学习方法的重要性．苏联教育家赞可夫曾经说过：“教学应同时完成两重任务：既在掌握知识和技巧方面达到高质量，又在学生发展上取得重大进步”．当今世界，科学技术突飞猛进，人类的知识量快速增长．据统计，今天一个科学家，即使日以继夜地工作，也只能阅读有关他自己这个专业的世界上出版物的5％．一个大学生，即使勤奋地攻读，也只能获得将来从事所需知识的一部分．因此，教师只有在传授知识的同时，特别重视学生能力的培养，使他们从“学会”到“会学”．作为数学教师应同其他各学科教学一样，不仅要传授数学知识，而且更重要的是给学生开启数学知识宝库的“钥匙”．只有这样才能使学生将来在四化建设中学会那些迫切需要的东西，才能使他们的知识臻于

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