...

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）当点Q在线段AD上时，如图1，根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形，则QR=AP=t；

（2）如图2，当点Q在线段AD上运动时，点R的运动的路程长为AR，当点Q在线段CD上运动时，点R的运动的路程长为CR，分别求长并相加即可； （3）分两种情况：

①当0＜t≤时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积， ②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积， 分别计算即可； （4）分两种情况：

①当∠BRQ=90°时，如图6，根据BQ=2RQ列式可得：t=； ②当∠BQR=90°时，如图7，根据BR=2RQ列式可得：t=． 【解答】解：（1）由题意得：AP=t， 当点Q在线段AD上时，如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°， ∵PQ∥BC，

∴∠PQA=∠B=60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PA=AQ=PQ，

∵△PQR是等边三角形， ∴PQ=PR=RQ， ∴AP=PR=RQ=AQ， ∴四边形APRQ是菱形，

...

...

∴QR=AP=t；

（2）当点Q在线段AD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为AR， 由（1）得：四边形APRQ是菱形， ∴AR⊥PQ， ∵PQ∥BC， ∴AR⊥BC，

∴RC=BC=×4=2， 由勾股定理得：AR=

=

=2

；

当点Q在线段CD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为CR， ∴AR+CR=2

+2，

+2）cm；

答：点R运动的路程长为（2

（3）当R在CD上时，如图3， ∵PR∥AD， ∴△CPR∽△CAD， ∴∴

， ，

4t=8﹣2t， t=，

①当0＜t≤时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，如图4， 过P作PE⊥AB于E， ∴PE=AP?sin60°=∴S=AQ?PE=

t2，

t，

②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，如图5，

在Rt△PCF中，sin∠PCF=，

∴PF=PC?sin30°=（4﹣t）=2﹣t，

...

...

∴FR=t﹣（2﹣t）=t﹣2， ∴tan60°=∴FM=

，

×（t﹣2），

t2﹣FR?FM=﹣2

；

﹣（t﹣2）×

×（t﹣2），

∴S=S菱形APRQ﹣S△FMR=∴S=﹣

+3

综上所述，当点Q在线段AD上时，S与t之间的函数关系式为：

S=；

（4）①当∠BRQ=90°时，如图6， ∵四边形APRQ是菱形， ∴AP=AQ=RQ=t， ∴BQ=4﹣t，

∵∠AQP=∠PQR=60°，

∴∠RQB=180°﹣60°60°=60°， ∴∠RBQ=30°， ∴BQ=2RQ， 4﹣t=2t， 3t=4， t=；

②当∠BQR=90°时，如图7， 同理得四边形CPQR是菱形， ∴PC=RQ=RC=4﹣t， ∴BR=t，

∵∠CRP=∠PRQ=60°， ∴∠QRB=60°， ∴∠QBR=30°， ∴BR=2RQ， ∴t=2（4﹣t），

...

...

t=，

综上所述，以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值是或．

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