答案精析

问题导学 知识点一

思考 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题． 梳理 结论和条件 逆命题 否定

否定 否命题 结论的否定和条件的否定 逆否命题 知识点二 思考1 互逆．

思考2 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理 (2)真 真 假 真 真 假 假 假 ①相同 ②没有 题型探究

例1 解 (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数． 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数． (2)原命题：若x＝2，则x＋x－6＝0. 逆命题：若x＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x＋x－6≠0. 逆否命题：若x＋x－6≠0，则x≠2.

(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角． 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等． 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

跟踪训练1 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

2

2

2

2

例2 解 (1)逆命题：若ac>bc，则a>b.真命题． 否命题：若a≤b，则ac≤bc.真命题． 逆否命题：若ac≤bc，则a≤b.假命题．

(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题． 跟踪训练2 B

例3 证明 方法一 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，

2

2

2

2

22

b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)

方法二 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾， 因此假设不成立，故a＋b≥0.

跟踪训练3 证明 “若a－4b－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a－4b－2a＋1＝0”． ∵a＝2b＋1， ∴a－4b－2a＋1

＝(2b＋1)－4b－2(2b＋1)＋1 ＝4b＋1＋4b－4b－4b－2＋1＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a－4b－2a＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证． 当堂训练 1．C 2.A

3．若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1 4.4

5．解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax＋bx＋c>0有解”． (2)命题p的否命题是真命题．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

判断如下： 因为ac<0，

所以－ac>0?Δ＝b－4ac>0?二次方程ax＋bx＋c＝0有实根?ax＋bx＋c>0有解， 所以该命题是真命题．

2

2

2