1.3.2 命题的四种形式

学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一 四种命题的概念

思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？ 梳理

名称 阐释 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的互逆命题 ____________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的________ 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的互否命题 ______和结论的______，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________ 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的互为逆否命题 ____________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的__________ 知识点二 四种命题间的相互关系 思考1 命题与其逆命题之间是什么关系？

思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

梳理 (1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题 真 真 假 假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性，即两命题等价；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系，即两个命题不等价．

逆命题 真 假 真 假 否命题 逆否命题

类型一 四种命题的关系及真假判断 命题角度1 四种命题的写法

例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x＋x－6＝0； (3)对顶角相等．

反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

命题角度2 四种命题的真假判断

例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

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(1)若a>b，则ac>bc；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

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反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题． 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．

在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( ) ①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题； ②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题； ④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题． A．①②③④ C．②③④

类型二 等价命题的应用

例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．

跟踪训练3 证明：若a－4b－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

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B．①③④ D．①④

1．命题“若綈p，则q”的逆否命题为( ) A．若p，则綈q C．若綈q，则p

2．下列命题为真命题的是( )

B．若綈q，则綈p D．若q，则p

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x＝1，则x>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x>1，则x>1”的逆否命题

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax＋bx＋c>0无解”． (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假．

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．

若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．

提醒：完成作业 第一章 1.3.2

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