高中数学第一章常用逻辑用语1_3_2命题的四种形式学案新人教B版选修2_1 下载本文

1.3.2 命题的四种形式

学习目标 1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.

知识点一 四种命题的概念

思考 初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题? 梳理

名称 阐释 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的互逆命题 ____________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的________ 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的互否命题 ______和结论的______,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的________ 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的互为逆否命题 ____________________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的__________ 知识点二 四种命题间的相互关系 思考1 命题与其逆命题之间是什么关系?

思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系?

梳理 (1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题 真 真 假 假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系:

①两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性,即两命题等价;

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性________关系,即两个命题不等价.

逆命题 真 假 真 假 否命题 逆否命题

类型一 四种命题的关系及真假判断 命题角度1 四种命题的写法

例1 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0; (2)当x=2时,x+x-6=0; (3)对顶角相等.

反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论,根据其他三种命题的定义,确定所写命题的条件和结论.

跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1)实数的平方是非负数;

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.

命题角度2 四种命题的真假判断

例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.

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(1)若a>b,则ac>bc;

(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.

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反思与感悟 若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.

在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( ) ①“若x+y≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正三角形都相似”的逆命题;

③“若m>0,则x+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x-2是有理数,则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④ C.②③④

类型二 等价命题的应用

例3 证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.

反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的,可以证明一个命题的逆否命题成立,从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键,同时注意这种证明方法与反证法的区别.

跟踪训练3 证明:若a-4b-2a+1≠0,则a≠2b+1.

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B.①③④ D.①④

1.命题“若綈p,则q”的逆否命题为( ) A.若p,则綈q C.若綈q,则p

2.下列命题为真命题的是( )

B.若綈q,则綈p D.若q,则p

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x=1,则x>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x+x-2=0”的否命题 D.命题“若x>1,则x>1”的逆否命题

3.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是________________,逆否命题是__________________. 4.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.

5.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax+bx+c>0无解”. (1)写出命题p的否命题; (2)判断命题p的否命题的真假.

写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误.

若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.

提醒:完成作业 第一章 1.3.2

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