(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(九)数列 下载本文

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33≤43,3<≤i≤<5,所以i=4,此时,由36=33+k得k=3,所以ai+k=a7=15,故

99此连续10项的和为200.

答案:200 [临门一脚]

1.数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等.

2.根据递推关系式求通项公式的方法有累加法,累积法,待定系数法,取倒数、取对数等.

3.数列单调性可以用定义研究,也可以构造函数进行研究,要注意数列和所构造函数的定义域的差别.

B组——高考提速练

1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2=1,a4=5,则S5=________.

解析:法一:由等差数列的通项公式,得5=1+2d,则d=2,a1=-1,S5=5×(-1)5×4

+×2=15.

2

5

法二:S5=答案:15

2.(2019·连云港模拟)已知数列{an}中,a1=a,a2=2-a,an+2-an=2,若数列{an}单调递增,则实数a的取值范围为________.

解析:由an+2-an=2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增,若数列{an}单调递增,则必有a2-a1=(2-a)-a>0且a2-a1=(2-a)-a<an+2-an=2,可得0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1).

答案:(0,1)

3.在等比数列{an}中,若a1=1,a3a5=4(a4-1),则a7=________.

解析:法一:设等比数列{an}的公比为q,因为a1=1,a3a5=4(a4-1),所以q·q=4(q-1),即q-4q+4=0,q=2,所以a7=q=4.

法二:设等比数列{an}的公比为q, 由a3a5=4(a4-1)得a4=4(a4-1),即a4-4a4+4=0,所以a4=2,因为a1=1,所以q=2,a7=q=4.

答案:4

4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为________. 解析:设等差数列{an}的公差为d,

3

6

2

2

3

6

3

3

6

2

4

a1+a5

2

5

a2+a4

2

=5×6

=15. 2

5

??a4+a5=24,则由?

?S6=48,???2a1+7d=24,即???2a1+5d=16,

a1+3d+a1+4d=24,??

得?6×5

6ad=48,1+?2?

解得d=4.

答案:4

53

5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q=3,S3+S4=,则a3=________.

3解析:因为等比数列{an}的公比q=3,

5353?11?所以S3+S4=2S3+a4=2?1++?a3+3a3=a3=,所以a3=3. 93?39?答案:3

6.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=a2,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=________.

解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由S3=a2得3a2=a2,解得a2=0或a2=3.又由S1,S2,S4成等比数列可得S2=S1S4.若a2=0,则S1=S2=a1≠0,S2=S4=a1,a2+a3+a4=3a3=0,a3=0,则d=0,故a2=0舍去;若a2=3,则S1=3-d,S2=6-d,S4=12+2d,有(6-d)=(3-d)(12+2d)(d≠0),得d=2,此时a10=a2+8d=19.

答案:19

7.在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且a1>0,Sn是数列{an}的前n项和,若Sn取得最大值,则n=________.

解析:因为3a4=7a7,所以3(a1+3d)=7(a1+6d), 33

所以a1=-d>0,所以d<0,

4所以an=a1+(n-1)d=(4n-37),

4当n≤9时,an>0,当n≥10时,an<0, 所以使Sn取得最大值的n=9. 答案:9

8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯________盏.

解析:每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得S7=

2

2

2

22

da11-27

1-2

=381,解得a1=3.

6

答案:3

9.(2019·泰州中学模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 014,-

2 014=6,则S2 019=________. 2 008

解析:由等差数列的性质可得??也为等差数列.设其公差为d,则-=6d2 0142 008?n?=6,∴d=1.故=+2 018d=-2 014+2 018=4,∴S 2 019=4×2 019=8 076.

2 0191

答案:8 076

10.设数列{an}满足a1=1,(1-an+1)(1+an)=1(n∈N),则? (akak+1)的值为________.

*

100

S2 014

S2 008

?Sn?S2 014S2 008

S2 019S1

k=1

解析:因为(1-an+1)(1+an)=1,所以an-an+1-anan+1=0,从而

1

an+1an11

-=1,=1,

a1

?1?11

所以数列??是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+n-1=n,所以an=,故anan?an?

ann+1

n1

n+1

100

1?1??11??1-1?=1-1=

=-,因此? (akak+1)=?1-?+?-?+…+??nn+1101?2??23??100101?k=1

1

100

. 101

100答案:

101

11.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N,满足=9,列{an}的公比为________.

解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则

*

S2mSma2m5m+1=,则数amm-1

S2mS2m=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为=SmSma11-q2m1-qa2ma1q2m-1m5m+1mm3

=q+1=9,所以q=8.所以=m-1=q=8=,所以m=3,所以q=ma11-qama1qm-11-q8,所以q=2.

答案:2

12.(2019·金陵中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,-=2 010.

2 0199若Sm+Sp+Sr=504(正整数m,p,r互不相等),对于满足条件的m,p,r,m+p+r的值构成的集合为________.

S2 019S9

7

解析:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+

nn-1

2Snn-1S2 019d,=a1+d.因为

n22 019

2 019-1??9-1?S9?d?-?a1+d?=1 005d=2 010,所以d=2,所以an=-=2 010,所以?a1+

22?9???2n-1,Sn=n.因为Sm+Sp+Sr=504为偶数,所以m,p,r中有两个奇数、一个偶数或m,

2

p,r均为偶数.①若m,p,r中有两个奇数、一个偶数,不妨设m=2x+1,p=2y+1,r=2z,其中x,y∈N,z∈N,则(2x+1)+(2y+1)+4z=504,所以2(x+x+y+y+z)=251,等式左边为偶数,右边为奇数,矛盾.②若m,p,r均为偶数,不妨设m=2m1,p=2p1,r=2r1,其中m1,p1,r1∈N,则m1+p1+r1=126,继续奇偶分析知m1,p1,r1中有两个奇数、一个偶数或m1,p1,r1均为偶数.易得当m1,p1,r1均为偶数时,不成立.当m1,

*

2

2

2

*

2

2

2

2

2

2

p1,r1中有两个奇数、一个偶数时,不妨设m1=2m2+1,p1=2p2+1,r1=2r2,其中m2,p2

∈N,r2∈N,则m2+m2+p2+p2+r2=31,因为m2(m2+1)+p2(p2+1)为偶数,所以r2为奇数,且r2的所有可能取值为1,3,5.不妨设0≤m2

222

p2=5;当r2=3时,m22+m2+p2+p2=22,得m2=1,p2=4;当r2=5时,m2+m2+p2+p2=6,

2

2

*

2

2

2

得m2=0,p2=2.综上所述,S2+S4+S22=504,S6+S12+S18=504,S2+S10+S20=504.所以对于满足条件的m,p,r,m+p+r的值构成的集合为{28,32,36}.

答案:{28,32,36}

13.设Sn是等比数列{an}的前n项和,an>0,若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为________. 解析:法一:当q=1时,S6-2S3=0,不合题意,所以q≠1,从而由S6-2S3=5得

3a11-q62a11-qa155

-=5,从而得=6=33

1-q1-q1-q-q+2q-1-q-1

2

<0,故1-q<0,

6

a11-q9a11-q65即q>1,故S9-S6=-=3

1-q1-q-q-1

5

t>0,则S9-S6=

5q3

,令q-1=2·(q-q)=3

q-1

6

9

t+1t2

?1?3

=5?t++2?≥20,当且仅当t=1,即q=2时等号成立. ?

t?

法二:因为S6=S3(1+q),所以由S6-2S3=5得S3=5q+q+1)-S3(q+1)=S3q=3,以下同法一.

q-1

3

3

6

6

3

56

>0,从而q>1,故S9-S6=S3(q3

q-1

答案:20

14.已知数列{bn}的每一项都是正整数,且b1=5,b2=7

解析:法一:ab1=a5=6-2d,ab2=a7=6,易知d≠3,等比数列{abn}的公比q==

66-2d*

3?3?n-1,?3?,abn=(6-2d)·?又abn=6+(bn-7)d,所以6+(bn-7)d=(6-2d)???3-d?3-d??3-d?

8