4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x?1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：

x2y2z2???1与平面x?2z?3?0的交线对xoy平面的射影柱面。 5、试求单叶双曲面

1645解：

6、设直线l与m为互不垂直的两条异面直线，C是l与m的公垂线的中点，A,B两点分别在直线l，m上滑动，且?ACB?90，试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。 证明： ：

z ? l ?A(x1,y1,c) O y x ?

7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：

? m?x?asecucosv??y?bsecusinv 与 ?z?ctgu?解：

?x?atgucosv??y?btgusinv ?z?csecu?

§ 4.6抛物面

1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，且过点(1,2,6)和(,?1,1)，求这个椭圆抛物面的方程。 解：

2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：

（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； （2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2a，夹角为2?。 解：

3、画出下列方程所代表的图形：

13?x?y2?z2x2y2??z?1；（1）（2）z?xy；（3）? 49?z?2

4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：

（1）y?0,z?0,3x?y?6,3x?2y?12,x?y?z?6

22（2）x?y?z,三坐标平面，x?y?1;

（3）x?y?z2,1y?x,y?1 22222（4）x?y?1,y?z?1

解：

5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：

??x?aucosv??y?businv 与 ?1?z?u22?式中的u,v为参数。 解：

?x?a(u?v)??y?b(u?v) ?z?2uv?§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线

1、 求下列直纹面的直母线族方程：

222（1）x?y?z?0 （2）z?axy

解：

2、 求下列直线族所成的曲面（式中的?为参数）

?x?2?y?4z?4?x??2yz????（1）； （2）? 1?10??x?2y?4?z?4解：

x2y2??z上，求平行于平面3x?2y?4z?0的直母线。 3、在双曲抛物面164解：

x2y2z24、试证单叶双曲面2?2?2?1的任意一条直母线在xoy面上的射影，一定是其腰圆

abc的切线。

证明：

5、求与两直线

x?6yz?1xy?8z?4与?相交，而且与平面2x?3y?5?0平???32132?21行的直线的轨迹。

解：

6、求与下列三条直线

?x?1， ?y?z??x??1x?2y?1z?2 与 ????345y??z?都共面的直线所构成的曲面。

解：

7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 证明：