精品文档

125而f()??，f(2)?1，

281故函数f(x)在区间[,2]上的最大值f(x)max?f(2)?1．

21a∴只需当x?[,2]时，g(x)??xlnx?1恒成立即可，即等价于a?x?x2lnx恒成立，

2x2所以，记u(x)?x?xlnx，所以a?u(x)max，u?(x)?1?x?2xlnx，可知u?(1)?0，

11当x?(,1)时，1?x?0，2xlnx?0，则u?(x)?0，∴u(x)在(,1)上单调递增；

22当x?(1,2)时，1?x?0，2xlnx?0，则u?(x)?0，∴u(x)在(1,2)上单调递减；

1故当x?1时，函数u(x)在区间[,1]上取得最大值h(1)?1，

2所以a?1，故实数a的取值范围是[1,??)． ··············· 14分

21、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)（本小题14分）函数

f(x)?aex,g(x)?lnx?lna,其中a为正常数，且函数y?f(x)和y?g(x)的图象在

其与坐标轴的交点处的切线互相平行。 （1）求两平行线的距离；

x?m?x成立，求实m的取值范围； f(x)（3）对于函数y?f(x)和y?g(x)公共定义域中的任意实数x0，我们把

|f(x0)?g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y?f(x)和y?g(x)（2）若存在x使不等式

在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

21、（1）f'(x)?aex,g'(x)?1,

x函数y?f(x)的图象与坐标轴的交点为（0,a）, 函数y?g(x)的图象与坐标轴的交点为（a，0）， 由题意得f'(0)?g'(a),即a?又?a?0,?a?1

1……………………………………………2分

a?f(x)?ex,g(x)?lnx

∴函数y?f(x)和y?g(x)的图象在其坐标灿的交点处的切线方程分别为x?y?1?0,x?y?1?0

∴两平行切线间的距离2…………………………………………………4分 （2）由

x?m?x得x?m?x f(x)exxex在x?[0,??）上有解

故m?x?xex，则m?h(x)max……………………………………………………5分

当x?0时，m?0

1ex?xex)?1?(1?x)ex,

当x?0时，h'(x)?1-(2x2x令h(x)?x?精品文档

精品文档

?x?0,?1?x?21?x?2,ex?1,2x2x 1x?(?x)e?22x1?x)ex?0，

故h'(x)?1?(2x即h(x)?x?xex在区间[0,??)上单调递减，故h(x)max?h(0)?0,?m?0 即实数m的取值范围(??,0)…………………………………………………8分 （3）解法一：函数y?f(x)和y?g(x)的偏差为F(x)?|f(x)?g(x)|?ex?lnx,x?(0,??) ?F'(x)?ex?1

x1设x?t为F'(x)?ex??0的解 x则当x?(0,t)时，F'(x)?0;当x?(t,??)时，F'(x)?0, ?F(x)在（0，t）内单调递减，在(t,??)上单调递增，

?F(x)min?F(t)?et?lnt?et?ln1t?et?t………………………………10分

e?F'(1)?e?1?0,F'(1)?e?2?0,?1?t?1

221111t故F(x)min?e?t?e2??e??2.72??2.15

222即函数y?f(x)和y?g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大2……………14分

解法二：由于函数y?f(x)和y?g(x)的偏差R(x)?|f(x)?g(x)|?ex?lnx,x?(0,??) 令F1(x)?ex??x,x?(0,??),F2(x)?x?lnx,x?(0,??)

?F1'(x)?ex?1,F2'(x)?1?1?x?1xx

?F1(x)在（0，+?)上单调递增，F2(x)在（0，1）内单调递减，在（1，?）上单调递

增………………………………………………………………………………10分

?F1(x)?F1(0)?1,F2(x)?F2(1)?1 ?F(x)?ex?lnx?F1(x)?F2(x)?2

即函数y?f(x)和y?g(x)在其公共定义域内所有偏差都大2……………14分 21．(四川省成都十二中2013届高三3月考理)（本小题满分14分） 已知：函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)。 （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

2（Ⅱ）若函数在处的切线与直线3x?2y?1?0平行，且方程2f(x)?x?2x?m?6?0恒

精品文档

精品文档

有三个实根，求m的取值范围； （III）求证：

ln2ln3ln4??234??lnn1?(n?2,n???) nn解:

（Ⅰ）f'(x)=(a/x)－a=[a(1－x)]/(x)

若a<0，则f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增； 若a=0，则函数无单调性；

若a>0，则f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减。

（Ⅱ）f'(x)=a/x-a f'(2)=-3/2 a=3 原方程可化为61nx+x^-8x-m=0 记g(x)=6lnx+x^-8x-m g'(x)=6/x+2x-8=0 x=1,x=3

g(1)>0且g(3)<0 得m的范围(6,15?6ln3) （III）

精品文档