因AC与BD同向，且AC?BD，

所以AC?BD，从而x3?x1?x4?x2，即x3?x4?x1?x2，于是

(x3?x4)2?4x3x4?(x1?x2)2?4x1x2 ③

设直线l的斜率为k，则l的方程为y?kx?1，

?y?kx?12由?2得x?4kx?4?0，由x1,x2是这个方程的两根，?x1?x2?4k,x1x2??4④

x?4y??y?kx?1?由?x2y2得(9?8k2)x2?16kx?64?0，而x3,x4是这个方程的两根，

?1??9?8x3?x4??16k64,xx??， ⑤ 349?8k29?8k22162k34?64162?9(k2?1)2?16(k?1)?将④、⑤代入③，得16(k?1)? 222。即

(9?8k)9?8k(9?8k2)222所以(9?8k)?16?9，解得k??66，即直线l的斜率为? 44考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质

x2y2（2015山东*文科）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2+2=1(?>b>0)的离

?b心率为13，且点（3，）在椭圆C上.

22（Ⅰ）求椭圆C的方程；

33

x2y2（Ⅱ）设椭圆E：2+2=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m4a4b交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. （i）求

|OQ|的值； |OP|(ii)求?ABQ面积的最大值.

x2|OQ|?y2?1；?2；【答案】（I）（II）（i）（ii）63. 4|OP|【解析】

a2?b233122?试题分析：（I）由题意知2?2?1,又，解得a?4,b?1. a2a4bx2y2??1. （II）由（I）知椭圆E的方程为

164（i）

设P(x0,y0),|OQ|??,由题意知Q(??x0,??y0). |OP|x02(??x0)2(??y0)22?y0?1.及 ??1，知??2. 根据4164（ii）设A(x1,y1),B(x2,y2),将y?kx?m代入椭圆E的方程，可得

(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0，由??0,可得m2?4?16k2……………………① 416k2?4?m2.及?OAB的面积应用韦达定理计算|x1?x2|?1?4k212|m|16k2?4?m22(16k2?4?m2)m2S?|m||x1?x2|??21?4k21?4k2m2m2?2(4?).

1?4k21?4k2m2222y?kx?m?t.设将直线代入椭圆C的方程，可得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0，21?4k由??0,可得m?1?4k……………………②

22 34

2由①②可知0?t?1,S?2(4?t)t?2?t?4t.

22当且仅当t?1，即m?1?4k时取得最大值23.

由（i）知，?ABQ的面积为3S即得 ?ABQ面积的最大值为63.

a2?b233122???1,试题解析：（I）由题意知2又，解得a?4,b?1， 2a2a4bx2?y2?1. 所以椭圆C的方程为4x2y2??1. （II）由（I）知椭圆E的方程为

164（ii）

设P(x0,y0),|OQ|??,由题意知Q(??x0,??y0). |OP|x02(??x0)2(??y0)2?2x022?y0?1.又??1，即(?y02)?1. 因为416444所以??2，即

|OQ|?2. |OP|（ii）设A(x1,y1),B(x2,y2),将y?kx?m代入椭圆E的方程，可得

(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0，由??0,可得m2?4?16k2……………………① 416k2?4?m28km4m2?16.因为直线,x1x2?.所以|x1?x2|?则有x1?x2??2221?4k1?4k1?4ky?kx?m与y轴交点的坐标为(0,m)，所以?OAB的面积

12|m|16k2?4?m22(16k2?4?m2)m2S?|m||x1?x2|??21?4k21?4k2m2m2?2(4?).

1?4k21?4k2m2222y?kx?m?t.设将直线代入椭圆C的方程，可得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0，21?4k由??0,可得m?1?4k……………………②

22 35

2由①②可知0?t?1,S?2(4?t)t?2?t?4t.故S?23. 22当且仅当t?1，即m?1?4k时取得最大值23.

由（i）知，?ABQ的面积为3S，所以?ABQ面积的最大值为63.

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.

2x2y2E:2?2?1(a?b?0)A(0,?1)，ab（2015陕西*文科）如图，椭圆经过点且离心率为2.

(I)求椭圆E的方程； (II)经过点线AP与

(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A）

，证明：直AQ的斜率之和为2.

x2?y2?1【答案】(I) 2； (II)证明略，详见解析.

【解析】

c2?,b?1222a?b?ca2试题分析：(I)由题意知，由，解得a?2，继而得椭圆的方程

x2?y2?1为2；

(II) 设代入

P?x1y1?,Q?x2y2?x1x2?0PQ的方程为y?k(x?1)?1(k?2)，

，由题设知，直线

x2?y2?12x1?x2?，化简得

(1?2k2)x2?4k(k?1)x?2k(k?2)?0，则

4k(k?1)2k(k?2),xx?121?2k21?2k2，

36