2015年全国高考圆锥曲线精选 下载本文

令x?3,得点M(3,y1?x1?3).

x1?2?x2?3y2?32222由?,得(1?3k)x?6kx?3k?3?0. ?y?k(x?1)6k23k2?3所以x1?x2?,x1x2?. 221?3k1?3k

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.

(本小题满分12分)

(2015福建*文科)已知点F为抛物线E:y?2px(p?0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且AF?3.

(Ⅰ)求抛物线E的方程;

(Ⅱ)已知点G(?1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.

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2

【答案】(Ⅰ)y?4x;(Ⅱ)详见解析. 【解析】

试题分析:(Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由AF?3可得2?2p?3,可求p的值,进而确定抛物线方程;(Ⅱ)欲证明以点F为2圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程);也可以证明??GF???GF,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.

试题解析:解法一:(I)由抛物线的定义得?F?2?p. 2因为?F?3,即2?p?3,解得p?2,所以抛物线?的方程为y2?4x. 22(II)因为点??2,m?在抛物线?:y?4x上,

所以m??22,由抛物线的对称性,不妨设?2,22. 由?2,22,F?1,0?可得直线?F的方程为y?22?x?1?.

??????y?22?x?1?2由?,得2x?5x?2?0,

2??y?4x解得x?2或x?1?1?,从而??,?2?. 2?2? 30

又G??1,0?,

所以kG??22?022?2?022???,kG??,

12???1?33???1?2所以kG??kG??0,从而??GF???GF,这表明点F到直线G?,G?的距离相等, 故以F为圆心且与直线G?相切的圆必与直线G?相切. 解法二:(I)同解法一.

(II)设以点F为圆心且与直线G?相切的圆的半径为r. 因为点??2,m?在抛物线?:y?4x上,

2所以m??22,由抛物线的对称性,不妨设?2,22.

??

由?2,22,F?1,0?可得直线?F的方程为y?22?x?1?.

????y?22?x?1?2由?,得2x?5x?2?0,

2??y?4x解得x?2或x?1?1?,从而??,?2?. 2?2?又G??1,0?,故直线G?的方程为22x?3y?22?0,

从而r?22?228?9?42. 17又直线G?的方程为22x?3y?22?0,

所以点F到直线G?的距离d?22?228?9?42?r. 17这表明以点F为圆心且与直线G?相切的圆必与直线G?相切. 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.

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(2015湖南卷*文科)(本小题满分13分)已知抛物线C1:x?4y的焦点F也是椭圆

2y2x2C2:2?2?1

ab(a?b?0)的一个焦点,C1与C2的公共弦长为26,过点F的直线l与C1相交于A,B两

点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向。 (I)求C2的方程;

(II)若AC?BD,求直线l的斜率。

6y2x2??1 ;(II) ?【答案】(I).

498【解析】

试题分析:(I)由题通过F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,可得a?b?1,根据C1与C2的公共弦长为26,C1与C2都关于y轴对称可得

2296??1,然后得到224ab对应曲线方程即可; (II) 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据AC?BD,可得

(x3?x4)2?4x3x4?(x1?x2)2?4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y?kx?1,

联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. 试题解析:(I)由C1:x?4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a?b?1 ①; 又C1与C2的公共弦长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C12的方程为C1:x?4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(?6,),?2223296??1 224ab②,

y2x2??1。 联立①②得a?9,b?8,故C2的方程为9822(II)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

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