令x?3，得点M(3,y1?x1?3).

x1?2?x2?3y2?32222由?，得(1?3k)x?6kx?3k?3?0. ?y?k(x?1)6k23k2?3所以x1?x2?，x1x2?. 221?3k1?3k

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.

（本小题满分12分）

（2015福建*文科）已知点F为抛物线E:y?2px(p?0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且AF?3．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）已知点G(?1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

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2

【答案】（Ⅰ）y?4x；（Ⅱ）详见解析． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由AF?3可得2?2p?3，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F为2圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明??GF???GF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．

试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得?F?2?p． 2因为?F?3，即2?p?3，解得p?2，所以抛物线?的方程为y2?4x． 22（II）因为点??2,m?在抛物线?:y?4x上，

所以m??22，由抛物线的对称性，不妨设?2,22． 由?2,22，F?1,0?可得直线?F的方程为y?22?x?1?．

??????y?22?x?1?2由?，得2x?5x?2?0，

2??y?4x解得x?2或x?1?1?，从而??,?2?． 2?2? 30

又G??1,0?，

所以kG??22?022?2?022???，kG??，

12???1?33???1?2所以kG??kG??0，从而??GF???GF，这表明点F到直线G?，G?的距离相等， 故以F为圆心且与直线G?相切的圆必与直线G?相切． 解法二：（I）同解法一．

（II）设以点F为圆心且与直线G?相切的圆的半径为r． 因为点??2,m?在抛物线?:y?4x上，

2所以m??22，由抛物线的对称性，不妨设?2,22．

??

由?2,22，F?1,0?可得直线?F的方程为y?22?x?1?．

????y?22?x?1?2由?，得2x?5x?2?0，

2??y?4x解得x?2或x?1?1?，从而??,?2?． 2?2?又G??1,0?，故直线G?的方程为22x?3y?22?0，

从而r?22?228?9?42． 17又直线G?的方程为22x?3y?22?0，

所以点F到直线G?的距离d?22?228?9?42?r． 17这表明以点F为圆心且与直线G?相切的圆必与直线G?相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．

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（2015湖南卷*文科）（本小题满分13分）已知抛物线C1:x?4y的焦点F也是椭圆

2y2x2C2:2?2?1

ab(a?b?0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为26，过点F的直线l与C1相交于A,B两

点，与C2相交于C,D两点，且AC与BD同向。 （I）求C2的方程；

（II）若AC?BD，求直线l的斜率。

6y2x2??1 ；(II) ?【答案】（I）.

498【解析】

试题分析：（I）由题通过F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，可得a?b?1，根据C1与C2的公共弦长为26，C1与C2都关于y轴对称可得

2296??1，然后得到224ab对应曲线方程即可； (II) 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据AC?BD，可得

(x3?x4)2?4x3x4?(x1?x2)2?4x1x2，设直线l的斜率为k，则l的方程为y?kx?1，

联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. 试题解析：（I）由C1:x?4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a?b?1 ①； 又C1与C2的公共弦长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C12的方程为C1:x?4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(?6,)，?2223296??1 224ab②，

y2x2??1。 联立①②得a?9,b?8，故C2的方程为9822（II）如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

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