课时规范练14 导数的概念及运算
一、基础巩固组
1.已知函数f(x)=A.- B.
+1,则
的值为 ( )
C. D.0
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e
2
3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
2
4.(2017江西上饶模拟)若点P是曲线y=x-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为( ) A.1 B. C. D.
32
5.已知a为实数,函数f(x)=x+ax+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=3x+1 B.y=-3x
1
C.y=-3x+1 D.y=3x-3
2
6.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x
xC.y=e
3
D.y=x
2
8.(2017江西南昌联考)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 ?导学号21500714? 9.(2017吉林长春二模)若函数f(x)=,则f'(2)= .
x10.(2017山西太原模拟)函数f(x)=xe的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 .
2
11.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x+3x-4,则f'(1)= .
12.若函数f(x)=x-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
二、综合提升组
13.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x+ax+(a-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=( )
3
2
2
2
A. B.- C.
D.- ?导学号21500715?
15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
2
三、创新应用组
16.(2017河南郑州三模)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2 017的值为( ) A.
B. C.
D.
17.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3
和y=ax2
+x-9都相切,则a等于( )
A.-1或-
B.-1或 C.-或-
D.-或7
课时规范练14 导数的概念及运算
1.A ∵f'(x)=,
=-=-f'(1)=-=-
2.B ∵f'(x)=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.故选B.
3.B 由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2
+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1, 所以f'(1)=-1,
故切线方程为y=-(x-1),
3
即x+y-1=0.
4.B 因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=故所求的最小值为
322
5.B 因为f(x)=x+ax+(a-3)x,所以f'(x)=3x+2ax+(a-3).
又f'(x)为偶函数,所以a=0,
32
所以f(x)=x-3x,f'(x)=3x-3. 所以f'(0)=-3.
故所求的切线方程为y=-3x.
6.C 依题意得f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,则b=0,又m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,故选C.
7.A 设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).
若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.
A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;
B项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2=C项,f'(x)=e>0,显然k1·k2=2
=-1无解,故该函数不具有T性质; =-1无解,故该函数不具有T性质;
xD项,f'(x)=3x≥0,显然k1·k2=33=-1无解,故该函数不具有T性质. 综上,选A.
22
8.C 令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x-7x+6得f(t)=2(2-t)-7(2-t)+6,化
22
简整理得f(t)=2t-t,即f(x)=2x-x,∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
9 由f'(x)=,得f'(2)=
xxx10.y=2ex-e ∵f(x)=xe,∴f(1)=e,f'(x)=e+xe,
∴f'(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e. 11.8 ∵f'(x)=-2f'(-1)x+3,
∴f'(-1)=-1+2f'(-1)+3,
解得f'(-1)=-2,∴f'(1)=1+4+3=8. 12.[2,+∞) ∵f(x)=x-ax+ln x,
∴f'(x)=x-a+
∵f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,
2
∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,
∴a=x+2(x>0).
13.B 设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象相切于点(x0,y0),
则
4
解得
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
22
14.D ∵f'(x)=x+2ax+a-1,
∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=;
2
若f'(x)的图象为③,则a-1=0. 又对称轴x=-a>0,∴a=-1, ∴f(-1)=-
15.1-ln 2 对函数y=ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=
设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).
由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,
所以
解得x1=,x2=-
所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.
2
16.A f'(x)=2x+m,可设f(x)=x+mx+c,由f(0)=0,可得c=0.
所以函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为2+m=3,解得m=1,
即f(x)=x+x,则所以S2 017=1-32
+…+2
=1-3
17.A 因为y=x,所以y'=3x,设过点(1,0)的直线与y=x相切于点(x0,),
则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0= 当x0=0时,由y=0与y=ax+当x0=时,由y=2
x-9相切可得a=-2
x-与y=ax+x-9相切,可得a=-1.
5