0）、C（0，?1）三点，过坐标原点O的直线y?kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，

?2）作平行于

x轴的直线l1、l2．

（1）求抛物线对应二次函数的解析式； （2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切； （3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、

N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

yN A O M C D 图12 B xl1 l2

【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y?ax由

2?bx?c， ，解得

1?a??4??b?0?c??1???0?4a?2b?c??0?4a?2b?c??1?c?．

所以y?1x42?1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、

N在抛物线上，

所以y212?x1?11422，y2?12x2?14?1)?y22，所以x=(y222?4(y2?1)；

又ON=x

?y22=4(y2?2)2，

第 21 页 共 36 页

所以ON=

y2?22，又因为y2≥?1，

所以ON=y?2．

设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F，

2?yNP则EF=OC?=， 222所以ON=2EF，

即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，

所以以ON为直径的圆与直线l1相切． （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则

MN2?MH2?NH2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，

2又y1=kx1，y2=kx2，所以(y所以MN上， 所以kx?1x4所以x =所以(x22?y1)2=k2(x2?x1)2，

?(1?k2)(x2?x1)2；

又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线

2?1，即x2?4kx?4?0，

1?k24k?16k2?1622=2k±2，

?x1)22=16(1?k)，

，

2所以MN?16(1?k2)2所以MN=4(1?k)．

第 22 页 共 36 页

延长NP交l2于点Q，过点M作MS⊥l2于点S， 则MS + NQ = 又x21y1?2?y2=1x4211?1?x22?1?44=1(x421?x22)?2，

?x22=2[4k2?4(1?k2)]?16k2?82，

=4(1?k)=MN．

2所以MS + NQ =4k的长．

y?2?2即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MNA O M E B N H xl P 1l Q 2C F S D 第24题

第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向 例题（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数

y?ax2?bx?c的图象交

x轴于A（－1，0），B(2，0)，

交y轴于C（0，－2），过A，C画直线． (1)求二次函数的解析式；

(2)点P在x轴正半轴上，且PA =PC，求OP的长； (3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线

AC相切，切点为H

①若M在y轴右侧，且△CHM ∽△AOC（点C与点

A对应），求点M的坐标；

②若 M的半径为45

5，求点

M的坐标．

第 23 页 共 36 页

【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：y?a(x?1)(x?2) 将x=0，y=－2代入，得－2= a(0+1)(0－2) 解得a=1．

∴抛物线的解析式为y?(x?1)(x?2)，即y?x(2)设OP =x，则 PC=PA =x +1． 在Rt△POC中，由勾股定理，得x22

?x?2．

?22?(x?1)2

解得x?3，即OP?3．

22(3)① ∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO． 情形1：如图，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴y

M??2，∴x2?x?2??2，

第 24 页 共 36 页