又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴PF?PB，

PAPFPF2?PA?PB=

100 9

过点F作FG⊥x轴于点G,在Rt△PFG中，

PG=PF2?FG2=8，∴PO=PG+GO=14，

33∴P(－14 , 0)

3设直线PF：把点F（－2 , 2）、点P(－14 , y?kx?b，0)代入y?kx?b解得k=3，b=7，∴直线

4237PF：y?3x?

42解方程1x42?x?2?37x?，得x=－342或x=2（不合题

意，舍去）

当x=－3时，y=5，∴M（－3 ,5）

44变式一25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y= 5作垂线，

4垂足为M，连FM（如图）． （1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x=1上有一点F(1，3)，

4求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不

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存在请说明理由．

解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，

4ac?b2b可得-=1，

4a2a=1，c=0，

∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x， 故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m，5），

4∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形

∴PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m-3）2=（m-1）

4

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2+（34-5）2

44242∴-m2+2m-3=1或-m2+2m-3=-1， ①当-m2+2m-3=1

42时，即-4m2+8m-5=0 ∵△=64-80=-16＜0 ∴此式无解

②当-m2+2m-3=-1时，即m2-2m=-1

424∴m=1+32或m=1-3232 32Ⅰ、当m=1+时，P点的坐标为（1+

32，1），

4M点的坐标为（1+Ⅱ、当m=1-32，5）

432时，P点的坐标为（1-32，1），M

4点的坐标为（1-，5），

4经过计算可知PF=PM， ∴△MPF为正三角形， ∴P点坐标为：（1+

（3）当t=3时，即N与F重合时PM=PN恒成立．

4

32，1）或（1-432，1）．

4第 19 页 共 36 页

证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，

在Rt△PNH中，

PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2， PM2=（5-y）2=y2-5y+25，

4216P是抛物线上的点， ∴y=-x2+2x；

∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-5y+25，

216∴1-y+t2-2ty+y2=y2-5y+25，

216移项，合并同类项得：-3y+2ty+9-t2=0，

216∴y（2t-3）+（9-t2）=0对任意y恒成立．

216∴2t-3=0且9-t2=0，

216∴t=3，故t=3时，PM=PN恒成立．

44∴存在这样的点．

变式二（2012山东潍坊，24，11分）如图12，已

知抛物线与坐标轴分别交于A（?2，0）、B（2，

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