M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”

（例题）23．（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?1x?1与抛物线y?ax22?bx?3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点

P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重

合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin?ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长， 并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成 两个三角形，是否存在适合的m值， 使这两个三角形的面积之比为9:10?

若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

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y C D A O

B x

P 第23题图

【答案】（1）由1x?1?0，得x??2,∴A(?2,0)

2

由1x?1?3，得x?4,∴B(4,3)

2∵y?ax2?bx?3经过A,B两点，∴

2??(-2)?a-2b-3=0?2??4?a+4b-3=3∴a?1,b??1

22设直线AB与y轴交于点E，则E(0,1) ∵PC∥y轴，∴?ACP??AEO. ∴sin?ACP?sin?AEO?OA?AE225?55

2（2）由⑴可知抛物线的解析式为y?1x21?x?3 2∴P(m,1m在Rt11?m?3),C(m,m?1) 2221111PC?m?1?(m2?m?3)??m2?m?4

22222PCD中，PD?PCsin?ACP

125?(?m2?m?4?) 25595??(m?12)? .55

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∵?595?0∴当m?1时，PD有最大值55

②存在满足条件的m值，m?5或32

29【提示】

分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、

G．

在RtPDF中，DF?11PD??(m2?2m?8).

55又BG?4?m, ∴SPCDPBCS1?(m2?2m?8)DFm?2??5?． BG4?m5??当S当S

PCDPBCPCDPBCSSm?295?时，解得m?； 5102m?21032?时，解得m?． 599变式一27．（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）． （1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围； （2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．

①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得

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5= （－2）2－2b－3，解得b=－2. 当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.

（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，

当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立． 所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，

变式二（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线y?x2?bx?c的图像与

x轴的一个交点为B（5，0），

另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5). （1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S，

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