中考必做的36道数学压轴题

例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系xOy中，

抛物线

y?mx2?2mx?2（m?0）与y轴交于点

A，其对称轴与x轴交于点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对

称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上

方，并且在2?x?3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

解：（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 .

∴ A（0，－2）． 抛物线对称轴为 x＝∴ B（1，0）．

（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，－2）

??2m?12m，

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则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y＝kx＋b 则

?2k?b??2,??k?b?0.k??2,解得? ?b?2.?∴直线的解析式为 y＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1

抛物体在 2

∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x＝－1 时， y＝－2x(－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4）

当 x＝－1 时， m＋2m －2＝4 ， m＝2 ∴抛物线解析为 y＝2x2 －4x－2 .

连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）. （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.

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①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值. 【答案】（1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝

ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.

因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.

所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根.

所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. ………3分

2－a（2）解：①y＝a（x－m）（x－m）＝a（x－2m?1）

22－a，

4所以，点C的坐标为（2m?1，－a）.

24当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1.

当△ABC的面积等于1时，1×1×?a＝1.

24所以1×1×（－a）＝1，或1×1×a＝1.

2424所以a＝－8，或a＝8.

②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，

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am2＋am）.

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

1×1×?a42＝1×1×am22?am

1×1×（－a）=1×1×（am2＋am），或1×1×a=1×2422421×（am2＋am）. 所以m＝－1，或m＝?1?222，或m＝?1?22.………9

分

变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数

y?(t?1)x2?2(t?2)x?32在x?0和x?2时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数y?kx?6的图象与二次函数的图象都

经过点A(?3，m)，求m和k的值；

（3） 设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点

C的左侧），将二次函数的图象在

点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n?0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y?kx?6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象

G有公共点时，n的取值范围。

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