19. (本小题满分16分)

1

已知数列{an}满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝－n(n∈N*)．

an

(1) 若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；

111

(2) 若存在k∈N*，使得，，成等差数列．

akak＋1ak＋2

①求数列{an}的通项公式；

11

②求证：ln n＋an＞ln(n＋1)－an＋1.

22

20. (本小题满分16分)

ax2

已知函数f(x)＝(a≠0)，e是自然对数的底数．

1＋ln x

(1) 当a＞0时，求f(x)的单调增区间；

1b－

(2) 若对任意的x≥，f(x)≥2eb1(b∈R)，求的最大值；

2a

(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋ex＜0的解集.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

1c??a－2??－1

已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝??的逆矩阵A＝??.若曲线C在矩阵A

?d1??0 b?

对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．

B. (选修44：坐标系与参数方程) 在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，

π5π

B的极坐标分别为(4，)，(22，)，曲线C的方程为ρ＝r(r>0)．

24

(1) 求直线AB的直角坐标方程；

(2) 若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．

C.(选修45：不等式选讲)

已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．

表1 1 2 3 4 5 文章学习积分 11111概率 99962 表2 2 4 6 视频学习积分 111概率 632

(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．

(1) 求2P2－Q2的值； (2) 化简nPn－Qn.