2019届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2019．5

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合U＝{－1，0，2，3}，A＝{0，3}，则?UA＝________．

a＋i

2. 已知复数z＝(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．

1＋3i

3. 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4时，则输入x的值为________． 4. 已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy＝90，则该组数据的方差为________． 5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．

2??x－2x，x≥0，

6. 已知函数f(x)＝?2则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．

?－x－2x，x＜0，?

7. 已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn.若a3－a2＝4，a4＝16，则S3的值为________．

22xy

8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右准线与两条渐近线分别

abab

交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为________．

4

9. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝3 cm，BC＝1 cm，CD＝2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm3.

π1

10. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin 2x与y＝tan x在(，π)上交点的横坐

82

标为α，则sin 2α的值为________．

→→→

11. 如图，在正六边形ABCDEF中，若AD＝λAC＋μAE(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

(第11题)

(第12题)

12. 如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．

2

13. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，

x－1

使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．

→→→→4

14. 在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若AB·AC＋BA·BC＝

3

1→→

CA·CB，则CB＋CD的最小值为________．

2

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)．

(1) 求角C的值；

(2) 若a＝4b，求sin B的值．

16.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：

(1) BE⊥CD； (2) EF∥平面PAB.

(本小题满分14分) x2y2

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的上顶点为A(0，

ab

2a

3)，圆O：x2＋y2＝经过点M(0，1)．

4

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．

18. (本小题满分16分)

南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.

(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积； (2) 当风筝面AEA′F的面积为3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．