数列

14 高频考点解析技巧（选择与填空）

【考点讲解】

一、具体目标：熟练掌握等差、等比数列的定义、性质，及和的相关性质，能准确的应用相关的概念判定数列的形式及性质，会用相关的性质解决有关等差、等比数列的问题. 二、知识概述： 1.等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

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（2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：a1，a3，a5，a7，……；a3，

a8，a13，a18，……；

an?am(m?n)；

n?mn，p，q?N?且m?n?p?q，（4）在等差数列?an?中，若m，则am?an?ap?aq,特殊地，2m?p?q（3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?时，则2am?ap?aq，am是ap、aq的等差中项.

（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差数列. （6）两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列． （7）若数列{an}是等差数列,则{kan}仍为等差数列． 2.等比数列的性质

（1）在等比数列?an?中，an?akqn?k（n,k?N）

*（2）在等比数列?an?中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若

，则am?an?ak?al． m?n?k?l（m,n,k,l?N*）

（3）在等比数列?an?中，依次k个项之和仍组成一个等比数列，即Sk是前k项之和，则Sk，S2k?Sk，

S3k?S2k，…，Smk?S(m?1)k，…，也是等比数列．

（4）对于正项等比数列?an?，取bn?lgan，则?bn?即为等差数列。所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比．

【真题分析】

1.【2019年高考全国III卷】已知各项均为正数的等比数列?an?的前4项和为15，且a5?3a3?4a1，则a3?（ ） A．16

B．8

C．4

D．2

?a1?a1q?a1q2?a1q3?15【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则?4， 2aq?3aq?4a11?1?a1?1,2解得?，?a3?a1q?4，故选C．

?q?2【答案】C

2.【2017年高考全国I卷】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学 的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数 列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再 接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数 幂.那么该款软件的激活码是（ ）

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】由题意得，数列如下：

1,1,2,1,2,4,L1,2,4,L,2k?1L则该数列的前1?2?L?k?

k(k?1)项和为 2?k(k?1)?k?1k?1S???1?(1?2)?L?(1?2?L?2)?2?k?2， ?2?要使

k(k?1)?100，有k?14，此时k?2?2k?1，所以k?2是第k?1组等比数列1,2,L,2k的部分和，2设k?2?1?2?L?2t?1?2t?1，所以k?2t?3?14，则t?5，此时k?25?3?29， 所以对应满足条件的最小整数N?【答案】A

3.【2019优选题】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（ ） A．

B．

C．

D．

29?30?5?440，故选A. 2

【分析】由余弦定理得出b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，由已知ac＝6，a+c＝2b 代入后消去a，c，解关于b的方程即可．本题考查了三角形正弦形式下的面积公式、余弦定理的应用. 【解析】由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①， 又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②

∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得 b2＝4b2﹣12﹣6解得b＝1+【答案】A

4.【2019优选题】等差数列{an}中，a1+a3＝2，a2+a4＝6，则a1+a7＝（ ） A．5

B．6

C．8

D．10

．故选：A．

，化简整理得b2＝4+2

，

【分析】利用等差数列的通项公式直接求解．或用等差数列的性质求解. 【解析】法一：因为等差数列{an}中，a1+a3＝2，a2+a4＝6，

?a1?a1?2d?2所以有?，解这个方程组可得：

?a1?d?a1?3d?6解得a1＝﹣1，d＝2，

所以a1+a7＝﹣1+（﹣1）+6×2＝10．故选：D． 法二：因为等差数列{an}中，a1+a3＝2，a2+a4＝6，a1所以a2?1，同理a3?3.d?2?a3?2a2?2，

a1?a7?2a4?2?a3?d??10.

【答案】D

5．【2019优选题】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，那么S9＝（ ） A．8

B．36

C．45

D．72

【分析】由a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根，得a4+a6＝8，从而S9此能求出结果．

?9?a1?a9??9?a4?a6?由22【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a4，a6是方程x2﹣8x+5＝0的两根， 所以a4+a6＝8， 所以S9?9?a1?a9??9?a4?a6??9?8?36． 222Sna2n?，则5等于（ ） Tn3n?1b5【答案】B．

6.【2019优选题】等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且

A．

27209 B． C． D．

3139149?a1?a9?a2aa?a9S1892?，选D. 【解析】由5?5?1==9?9b?bb52b5b1?b9?19?T928142【答案】D

7. 【2019优选题】已知 x＞1，y＞1，且 lg x，，lg y 成等比数列，则 xy 有（ ） A．最小值10

B．最小值

C．最大值10

D．最大值

【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy的最小值．本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用.