粒子在ψ2状态时，出现在0.49l和0.51l间的概率为：≈0.0001 （c）计算结果与图形符合。

8

156 该分子共有4对π电子，形成π8离域π键。当分子处于基态时，8个π电子占据能

级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，π电子由能级最高的被占轨道（n＝4）跃迁到能级最低的空轨道（n＝5），激发所需要的最低能量为△E＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460 nrn处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：

22

△E＝hc/λ＝（2n＋1）h/8ml

因此：l＝[（2n＋1）hλ/8mc]1/2＝1120pm

计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。 157 质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动，其能级公式为：

式中nx，ny，nz皆为能量量子数，均可分别取l，2，3，?等自然数。 根据上述公式，能级最低的前5个能量（以h2/（8ma2）为单位）依次为

E111＝3 E112＝E121＝E211＝6 E122＝E212＝E221＝9 E113＝E131＝E311＝11 E222＝12而相邻两个能级之能量差依次为3，3，2，1。

简并度即属于同一能级的状态数。上述5个能级的简并度分别为1，3，3，3，1。能级简并情况示于下图。

立方势箱能级最低的前五个能级简并情况

158 该离子共有10个π电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个π

型分子轨道上。离子受到光的照射，π电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的能级差。此能级差对应于吸收光谱的最大波长。

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应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：△E＝hc/λ＝11h/8ml2 λ＝8mcl2/11h＝506.6nm

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实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为－0.67％。 159 由量子数n可知，n＝0为非简并态，≥1都为二重简并态，6个π电子填入n＝0，

1，－1等3个轨道，如下图所示：

封闭圆环式苯分子π键的能级和电子排布

△E＝（4－1）h2/8πmR＝hc/λ λ＝8π2mR2c/3h＝212nm

实验表明，苯的紫外光谱中出现β，P和α共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nrn和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于。电子在最高成键轨道和最低反键轨道之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。 在《结构化学基础》（第2版）中，将苯分子的π电子作为边长为350 pm的二维方势箱模型处理，所得结果较差。由于苯环中C－C键长为140 pm，本题假设苯分子中的π电子在半径R＝140 pm圆环中运动的粒子。在几何意义上较合理，所得的结果也较好。

6

6离域π22

160 该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数

和

都是一维箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本≠常数×ψ（x）

的本征函数，即其能量无确定值，而可按下述步骤计算其平均值。

假设IV（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 所以，ψ（x）不是

将ψ（x）归一化；设ψ（x）＝cψ（x），即：

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＝13c＝1 c＝1/13

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ψ（x）所代表的状态的能量平均值为：＝5h/13ma 也可先将ψ1（x）和ψ2（x）归一化，求出相应的能量，再利用式；求出

222222222

ψ（x）所代表的状态的能量平均值：＝4c×h/8ma＋9c×2h/8ma＝5h/13ma

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