－－

120 （1）r1＝0.177? r2＝0.708? （2）△PE＝2.92×1017J （3）△E＝1.46×1017J

注意：总能量差为势能的一半。

－

121 E＝5.0×1019 Z＝2（氦）

122 只有（1）－3.4eV是一13.6eV除以整数的平方得到的：（1）－3.4eV—一13.6 eV/4。

能量为正值的电子（4）必然位于原子之外。 123 具有整数n1和n2的方程是λ＝k（

11－）其中，k＝136.52? 由两个连续数之间n1n2的固定差值，我们可以推出其相互关系。

124 发射出可见光表明一些电子跃迁到了第二轨道。原子回到基态必然发生跃迁2→1

波长由下式求出：

5

1125 γBe＝2.43×10cm1

126 c/v1＝137 真空中光的速率比电子在此轨道上的速率快137倍。 127 试误法表明：n1，n2的值只可能为4→3，6→4，13→4

128 ＋13.6eV。正子除了电性以外性质与电子相同，这使它的能量与电子能量相同。

－＋

129 （20 437）（4）＝8l 748cm1（对He，Z＝2，Z2＝4） 130 （1）λ＝91.152m （2）IP＝13.601Ev （3）半径为a0的1，4，9倍，即分别为0.529，

2.116，4.76?

131 发生的跃迁为从n＝4到n＝2。

132 λ＝h/mc类似于λ＝h/mv（对于电子） 133 mvr＝nh/2?

－

134λ＝4.70×1010m

135 KE＝33Ev 因质子电荷数量和电子电行数量相同，所以其需要的加速电势与电子伏

特数目相同，为33V。 136 电势＝18.6kV

－

137 λ＝6.63×1033m 138 λ＝0.123?

－

?＝109678（

11－） 1222139 ?＝37400cm1

－140

ν＝c/λ＝4.469×1014s1

－

E＝hvNA＝178.4kJ·mol1

141 将各照射光波长换算成频率v，并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表：

－

v＝1/λ＝1.491×104cm－1

由表中数据作Ek－v图：

由式 hv＝hvo＋Ek

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/

推知 h＝△Ek/△v

即Planck常数等于Ek－v图的斜率。选取两合适点，将Ek和v值代入上式，即可求出h。例如：h＝6.60×10－34J·s

v0＝4.36×1014 图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属钠的临阈频率v0，由图可知，

s－1。因此，金属钠的脱出功为：W＝hv0＝2.88×10－19J

－

142 hv＝hv0＋mv2/2 v＝[2h（v－v0）/m]1/2＝8.12×105m·s1 143 根据de Br?glie关系式：

－

（1）λ＝h/mv＝6.626×1022m

－

（2）λ＝h/p＝9.043×1011m

－

（3）λ＝h/p＝7.08×1011m

－

144 根据de Br?glie关系式：λ＝h/p＝2.742×1012m

145 微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：

E＝hv p＝h/λ式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式： P＝mv

知，①、②、④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：λ＝u/v式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度v，但③中用了λ＝u/v，显然是错的。

在④中，E＝hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。

146 按不确定度关系，诸粒子坐标的不确定度分别为：

－

子弹：△x＝h/m·△v＝6.63×1034m

－

尘埃：△x＝h/m·△v＝6.63×1025m

－

花粉：△x＝h/m·△v＝6.63×1020m

－

电子：△x＝h/m·△v＝7.27×106m

由计算结果可见，前三者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略。换言之，由不确定度关系所决定的坐标不确定度远远小于实际测量的精确度（宏观物体准确到－

108 m就再好不过了）。即使质量最小、运动最慢的花粉，由不确定度关系所决定的△x也是微不足道的。此即意味着，子弹、尘埃和花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，不确定度关系对所讨论的问题实际上不起作用。

而原子中的电子的情况截然不同。由不确定度关系所决定的坐标不确定度远远大于原子本身的大小（原子大小数量级一般为几十到几百个prn），显然是不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，不确定度关系对讨论的问题有实际意义。

由此可见，不确定度关系为检验和判断经典力学适用的场合和限度提供了客观标准。凡是可以把Planck常数看作零的场合都是经典场合，粒子的运动规律可以用经典力学处理；凡是不能把Planck常数看作零的场合都是量子场合，微粒的运动规律必须用鼻子力学处理。

147 在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：

－

△x＝h/m·△v＝3.88×1010m

这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

148 根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：

－

△x＝h/△px＝1.226×1011m

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/

－

这不确定度约为光学光栅周期的105倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光

－

学光栅周期的105倍，显然，用光学光栅观察不到电子衍射。

－

亦可作如下理解：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定度关系决定的动量不

－－

确定度为△px＝h/△x＝6.626×1028J·s·m1 在104V加速电压下，电子的动量为；

－－

px＝mvx＝5.402×1023J·s·m1

由△px和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为： θ＝arcsinθ＝arcsin△p/px≈0o

这说明电子通过光栅狭缝后“沿直线前进，落到同一个点上”。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。

149 由线性算符和线性自轭算符的定义知：

x，d/dx，d2/dx2为线性算符，而id/dx为线性自轭算符。

150 应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数、本征值和本征方程），得：

（d2/dx2－4a2x2）Ψ＝－6Aψ 因此，本征值为－6a。

151 d2ex/dx2＝1×ex，ex是d2/dx2的本征函数，本征值为1；

d2sinx/dx2＝－1×sinx，sinx是d2/dx2的本征函数，本征值为一1； d2×2cosx/dx2＝－2cosx，2cosx是d2/dx2的本征函数，本征值为－1； d2x3/dx2＝6x≠cx3，x3不是d2/dx2的本征函数； d2（sinx＋cosx）/dx2＝－（sinx＋cosx），sinx＋cosx是d2/dx2的本征函数，本征值为－1。

152 ideimψ/dφ＝ieimψ·im＝－meimψ

所以eimψ是算符id/dφ的本征函数，本征值为－m。 而idcosmΦ/dΦ＝－imsinmΦ≠ccosmΦ

所以cosmΦ不是算符id/dΦ都的本征函数。

153 在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：

Ψn（x）＝

2n?x 0＜x＜l n＝1，2，3，? sinll令n和n’表示不同的量子数，积分：

n和n‘皆为正整数，因而（n－n’）和（n＋n）皆为整数，所以积分：

，

根据定义，Ψn（x）和Ψn（x）互相正交。

154 （a）由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：

①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

作用于波函数，所得常数即为

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即En＝nh/8ml ②将动量平方的算符

222

：

/

即

将此式代人粒子的能量表达式，得：E＝T＋V＝T＝p2x/2m＝1/2m×n2h2/4l2 若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ①解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思想，选ψ＝xl－x2为变分函数，用式：

px2＝n2h2/4l2

进行计算，所得结果是用上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。

②根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件[Ψn（0）＝ψn（l）＝0]，箱长应该等于半波长的整数倍，即：l＝λn/2 将此式代入de Brdglie关系式，得：p＝h/λ＝nh/2l

将此式代人粒子能量的一般表达式，得：E＝T＋V＝T＝p2/2m＝n2h2/8ml2

读者可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n，m及l等的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。 （b）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值： ＝l/2

粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的概率各为0.5，即

图形对势箱中心点是对称的。 （c）无本征值。可按下式计算px的平均值

＝0

155 （a）

由上述表达式计算ψ1（x）和ψ2（x），并列表如下：

2

2

根据表中所列数据作ψn2（x）－x图示于下图中。 （b）粒子在ψ1状态时，出现在0.49l和0.51l间的概率为：

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＝0.0399

/