北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（理工类）

2013.4

一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） D （10） （3） A （4） C （11） （5） C （12） 1,2 （6） D （13） （7） A （8） B （14） 二、填空题： 题号 （9） 答案 2，10 2 420 22(,) 53[?5,5] （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)?31?cos?x1sin?x?? 22231sin?x?cos?x 22 ? ?sin(?x??). …………………………………………4分 6因为f(x)最小正周期为?，所以??2. ………………………………6分 所以f(x)?sin(2x?).

?6??????2x??2k??，k?Z，得k???x?k??. 26236??所以函数f(x)的单调递增区间为[k??,k??]，k?Z. ………………8分

36???7?（Ⅱ）因为x?[0,]，所以2x??[,]， …………………………………10分

26661?所以??sin(2x?)?1. ………………………………………12分

26?1所以函数f(x)在[0,]上的取值范围是[?,1]. ……………………………13分

22由2k??（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 P(A)?21?． 421．…………………………3分 2 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

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（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．

由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

所以P(B)?1?[C4()?()?C401． 2120124111311?()]?． 2216 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11．……………7分 16（Ⅲ）由题意可知，?，?的可能取值为?1,0，1,2，所以随机变量X的可能取值为

?2,?1，0，1,2,4．

2121?； P(X=?1)??； 4?484?487721 P(X=0)??； P(X=1)??；

4?4164?482111 P(X=2)??； P(X=4)??．

4?484?416 P(X=?2)?所以随机变量X的分布列为

X ?2 ?1 P 0 1 2 4 117111 881688161171111所以E(X)=?2??1??0??1??2??4??．……………………13分

881688164（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，

PEPF???， PBPC所以 EFPBC．

因为BCPAD，所以EFPAD． 而EF?平面PAD，AD?平面PAD，

所以EFP平面PAD． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD?平面PAC，

平面ABCDI平面PAC?AC，且PA?AC， 所以PA?平面ABCD. 所以PA?AB，PA?AD． 又因为AB?AD，

所以PA,AB,AD两两垂直． ……………………………………………………5分

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如图所示，建立空间直角坐标系， 因为AB?BC?1，PA?AD?2， 所以A?0,0,0?,B?1,0,0?,

zP C?1,1,0?,D?0,2,0?,P?0,0,2?．

当??1时，F为PC中点， 2E F 所以F(,,1),

B uuuruuur11所以BF?(?,,1),CD?(?1,1,0)． x 22设异面直线BF与CD所成的角为?，

1122A C D y11|(?,,1)?(?1,1,0)|uuuruuur322?所以cos??|cos?BF,CD?|?，

311??1?244所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为3．…………………………………9分 3uuuruuur（Ⅲ）设F(x0,y0,z0)，则PF?(x0,y0,z0?2),PC?(1,1,?2)．

uuuruuur 由已知PF??PC，所以(x0,y0,z0?2)??(1,1,?2)，

?x0??,uuur? 所以?y0??, 所以AF?(?,?,2?2?)．

?z?2?2?.?0uuur设平面AFD的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，因为AD??0,2,0?,

uuur???x1??y1?(2?2?)z1?0,?n1?AF?0,所以? 即? uuur2y1?0.???n1?AD?0. 令z1??，得n1?(2??2,0,?)．

uuuruuur设平面PCD的一个法向量为n2?(x2,y2,z2)，因为PD??0,2,?2?,CD???1,1,0?,

uuur??2y2?2z2?0,?n2?PD?0,所以? 即? uuur??x2?y2?0. ??n2?CD?0.

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令x2?1，则n2?(1,1,1)．

若平面AFD?平面PCD，则n1?n2?0，所以(2??2)???0，解得??所以当??2． 32时，平面AFD?平面PCD．…………………………………………14分 3（18）（本小题满分1 3分）

解：函数定义域为xx?0， 且f?(x)?2x?(a?2)?①当a?0，即

??a(2x?a)(x?1)?.…………2分 xxa?0时，令f?(x)?0，得0?x?1，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)， 2令f?(x)?0，得x?1，函数f(x)的单调递增区间为(1,??).

aa?1，即0?a?2时，令f?(x)?0，得0?x?或x?1， 22a函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,??).

2aa令f?(x)?0，得?x?1，函数f(x)的单调递减区间为(,1).

22a③当?1，即a?2时，f?(x)?0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0,??). …7分

2②当0?(Ⅱ)①当a?0时，由(Ⅰ)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)在(1,2]单调递增. 所以f(x)在?0,2?上的最小值为f(1)?a?1， 由于f(112a1a2)????2?(?1)??1?0， e2e4e2e2e2e2要使f(x)在?0,2?上有且只有一个零点， 需满足f(1)?0或??f(1)?0,2. 解得a??1或a??ln2?f(2)?0,②当0?a?2时，由(Ⅰ)可知，

（ⅰ）当a?2时，函数f(x)在(0,2]上单调递增； 且f(e)?点.

?414?4?2?0,f(2)?2?2ln2?0，所以f(x)在?0,2?上有且只有一个零8eea2a又因为f(1)?a?1?0，所以当x?(,2]时，总有f(x)?0.

2 因为e

?2a?2a（ⅱ）当0?a?2时，函数f(x)在(,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增；

?1?a?2，

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