技巧把各个无量纳物理量群（即无量纲量）的内涵确定下来。

下面以单相介质管内对流换热问题为例，应用量纲分析法来导出其有关的无量纲量。据式（5－43）有：

h?f?u,d,?,?,?,cp?

应用量纲分析法获得特征数的步骤如下：

（1）找出组成与本问题有关的各物理量量纲中的基本量的量纲

本例有7个物理量，它们的量纲均由4个基本量的量纲——时间的量纲T、长度的量纲L、质量的量纲M及温度的量纲?组成，即n?7，r?4，故可以组成三个无量纲量。同时，选定4个物理量作为基本物理量，该基本物理量的量纲必须包括了上述4个基本量的量纲。本例中取u、d、?及?为基本物理量。 （2）将基本量逐一与其余各量组成无量纲量

无量纲量总采用幂指数形式表示，其中指数值待定。用字母?表示无量纲量，对本例则有：

?1＝hua1db1?c1?d1 （s） ?2＝?ua2db2?c2?d2 （t） ?3＝cpua3db3?c3?d3 （u） （3）应用量纲和谐原理来决定上述待定指数a1~a3等。 以?1为例可列出各物理量的量纲如下：

dimh?M??1T?3；dimd?L；dim??ML??1T?3；dim??ML?1T?1；dimu?LT?1

将上述结果代入式（s），并将量纲相同的项归并到一起，得：

?1?La1?b1?c1?d1Mc1?d1?1??1?c1T?a1?3c1?d1?3

上式等号左边为无量纲量，因而等号右边各量纲的指数必为零（量纲和谐原理），故得：

a1?b1?c1?d1＝0??c1?d1?1＝0??

?1?c1＝0??a1?3c1?d1?3＝0???b1＝1?d＝0?1由此得： ?

c＝－1?1??a1＝0故有 ?1＝hu0d1?－1?0＝hd??Nu

类似地可得：

?2＝?ud?Re ??3＝?cp?Pr ??1及?2分别是以管子内径为特征长度的努塞尔数及雷诺数。至此，式（5-43）

可转化为

（5-47） Nu＝f?Re,Pr?

5-6 相似原理的应用

本节着重讨论相似原理在传热学实验研究中的应用，同时也对常见相似准则数的物理意义作一总结。

相似原理在传热学中的—个重要的应用是指导试验的安排及试验数据的整理。按相似原理，对流换热的试验数据应当表示成相似准则数之间的函数关系，同时也应当以相似准则数作为安排试验的依据。以管内单相强制对流换热为例，由上一节的分析知道，Nu数与Re数及Pr数有关，即Nu＝f?Re,Pr?，因此应当以Re数及Pr数作为试验中区别不同工况的变量，而以Nu数为因变量。这样，如果每个变量改变10次，则总共仅需做102次试验，而不是以单个物理量作变量时的106次。那么，为什么相相似准则数安排试验既能这样大幅度地减少试验次数，又能得出具有一定通用性的实验结果呢？这是因为按相似准则数来安排试验时，个别试验所得出的结果已上升到代表整个相似组的地位，从而使试验次数可以大为减少，而所得的结果却有一定通用性(代表了该相似组)。例如，对空气(Pr＝0.7)在管内的强制对流换热进行实验测定得出了这样—个结果：对于流速

u?10.5m/s、直径d?0.1m、运动粘度??16?10?6m2/s、平均表面传热系数h?36.9W/(m2.K)、流体的导热系数??0.0259W/(m.K)的工况，计算得：

ud10.5?0.14??6.56?10 Re? ?6?16?10hd?142.5 Nu??因此，只要Pr?0.7，Re?6.56?104，圆管内湍流强制对流换热的Nu数总等于142.5。而Re?6.56?104这样一种工况可以由许多种不同的流速及直径的组合来达到，上述实验结果即代表了这样一个相似组。

相似原理虽然原则上阐明了实验结果应整理成准则间的关联式，但具体的函数形式以及定性温度和特征长度的确定，则带有经验的性质。 在对流换热研究中，以已定准则的幂函数形式整理实验数据的实用方法取得很大的成功，如：

Nu＝CRen （5-48a）

Nu＝CRenPrm （5-48b）

式中，c、n、m等常数由实验数据确定。

这种实用关联式的形式有—个突出的优点，即它在纵、横坐标都是对数的双对数坐标图上会得到一条直线。对式（5－48a）取对数就得到直线方程的形式：

lgNu＝lgC?nlgRe （5－49）

n的数值是双对数图上直线的斜率（参看图5－14），也是直线与横坐标轴夹角?的正切。lgC则是当lgRe?0时直线在纵坐标轴上的截距。在式（5－48b）中需要确定c、n、m三个常数。实验数据的整理上可分两步进行。例如，对于管内湍流对流换热，可利用舍伍德)得到的同—Re数下不同种类流体的实验数据从图5－15上先确定m值。由式（5－48b）得：

图5-14 Nu＝CRen双对数图图示

图5-15 Re?10时不同Pr数流体的实验结果

4 lgNu＝lgC?mlgPr （5-50） 指数m由图上直线的斜率确定，即 m?lg200?lg40?0.4

lg62?lg1.15然后再以lgNu/Pr0.4为纵坐标，用不同Re数的管内湍流换热实验数据确定C和

??n，参看图5-16。从这样的双对数坐标图上可得C?0.023、n?0.8。于是，对于管内湍流换热，式（5－48b）可具体化为：

Nu＝0.023Re0.8Pr0.4 （5-51）

对于有大量实验点的关联式的整理，采用最小二乘法确定关联式中各常数值

是可靠的方法，实验点与关联式的符合程度可用多种方式表示，如用大部分实验点与关联式偏差的正负百分数表示（例如90％的实验点偏差在?10％以内)，或用全部实验点与关联式偏差绝对值的平均百分数表示等。 相似原理的另一个重要应用是指导模化试验。所谓模化试验，是指用不同于实物几何尺度的模型（在大多数情况下是缩小的模型）来研究实际装置中所进行

的物理过程的试验。显然，要使模型中的试验结果能应用到实物中去，应使模型中的过程与实际装置中的相似。这就要求实际装置及模型中所进行的物理现象的单值性条件相似，巳定准则相等。但要严格做到这一点常常是很困难的。以对流换热为例，单值性条件相似包括了流体物性场的相似，即模型与实物的对应点上流体的物性分市相似。除非是没有热交换的等温过程，要做到这一点是很难的，因而工程上广泛采用近似模化的方法，即只要求对过程有决定性影响的条件满足相似原理的要求。例如，对稳态的对流换热相似的要求可减少为流场几何相似、边界条件相似、Re数相等、Pr数相等，而物性场的相似则通过引入定性温度来近似地实现。前面巳指出，定性温度是指计算流体物性时所采用的温度。在整理试验数据时按定性温度计算物性，则整个流场中的物性就认为是相应于定性温度下的值，即相当于把物性视为常数，于是物性场相似的条件即自动满足。定性温度的选择虽带有经验的性质，但对大多数对流换热问题（除流体物性发生剧烈变化的情形外)，采用定性温度整理实验数据仍是一种行之有效的方法。

在对流换热的特征数方程式中，待定量表面传热系数h包含在Nu中，所以Nu数是个待定数。对于求h的计算，其他特征数都是已定数。

在使用特征数方程时应注意以下三个问题：

（1）特征长度应该按该准则式规定的方式选取。前已指出，包括在相似准则数中的几何尺度称为特征长度，例如在Re数、Nu数、Bi数及Fo数中均包含有特征长度。原则上，要把所研究问题中具有代表性的尺度取为特征长度，例如管内流动时取管内径，外掠单管或管束时取管子外径等。但对一些较复杂的几何系统，不同准则方程可能会采用不同的特征长度，使用时应加以注意。

(2)定性温度应按该准则式规定的方式选取。前面己指出，定性温度用以计算流体的物性。对向一批实验数据，定性温度不同使所得的准则方程也可能不一样。整理实验数据时定性温度的选取除应考虑实验数据对拟合公式的偏离程度外，也应照顾到工程应用的力便。常用的选取方式有：通道内部流动取进出口截面的平均值；外部流动取边界层外的流体温度或取这一温度与壁面温度的平均值。

(3)准则方程不能任意推广到得到该方程的实验参数的范围以外。这种参数范围主要有Re数范围、Pr数的范围、几何参数的范围等。 作为相似原理及其应用这一部分的结束，把已遇到过的相似准则数的物理意义总结在表5－2中。图5－2列出了无相变对流换热的9种常见情形，其中外掠平板的情况已在前面讨论过，以下三节着重介绍其他7种情况的换热准则方程，而射流冲击换热将在第十章予以介绍。由上两节的讨论可知，可以将强制对流换热的实验结果整理成以下三种形式：

Nu＝f?Re,Pr? （a）

St＝f?Re,Pr? （b） j＝f?Re,Pr? （c）

内于Nu数与St数及j因子间的内在联系(见表5-1)，知道了其中一种关联式即可推出其他两种形式，以下仅介绍式(a)所示的这种形式。

5-7 内部流动强制对流换热实验关联式