第二部分（加试部分）
21.（本小题满分10分）
?mn? 已知直线l：x?y?1在矩阵A??求矩阵A. ?对应的变换作用下变为直线l?：x?y?1，
01??
22. （本小题满分10分）
在极坐标系中，求圆??8sin?上的点到直线??
?3（??R）距离的最大值.
- 5 -
23. （本小题满分10分）
某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.
（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；
（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.
24. （本小题满分10分）
已知函数f(x)?2x?3x，设数列?an?满足：a1?21，an?1?f(an). 4＜an＜； （1）求证：?n?N，都有0（2）求证：
*13333?????4n?1?4.
1?3a11?3a21?3an- 6 -
数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016．1
一、填空题
1．?1? 2．3 3．9．
12 4．144 5．4 6． 7．31 8．5 257?71 10．? 11．3 12．?1 13．1343 14．(??,] 6256二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）
D、E分别为BC、CC1中点，?DE//BC1， …………2分
DE? 平面ABC1，BC1?平面ABC1 ?DE//平面ABC1 …………6分
（2）直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?平面ABC
AD?平面ABC ?CC1?AD …8分
BC?C，CC1， BC?平面BCC1B1，
AB?AC，D为BC中点 ?AD?BC ，又CC1?AD?面BCC1B1
BC1?平面BCC1B1 ?AD?BC1 …………11分 AD?D，B1D，AD?平面AB1D ?BC1?平面AB1D
又BC1?B1D，B1DBC1?平面ABC1 ?平面AB1D?平面ABC1 …………14分
16．解：（1）f(x)?31?3 …………2分 (1?cos2?x)?sin2?x?sin(2?x?)?2232f(x)的周期为?，且??0，??32?…………4分 ??，解得??1 ?f(x)?sin(2x?)?322?又0?x??2， 得
?3?2x??3?4?sin(2x?)?1， ??，?2333?333?0?sin(2x?)???1 即函数y?f(x)在x?[0,]上的值域为[0,?1]．………7分
32222（2）
?3A??4 由A?(0,?)，知?A???， f()?3 ?sin(A?)?322333?2?解得：A???，所以A? …………9分
333由余弦定理知：a2?b2?c2?2bccosA，即16?b2?c2?bc
?16?(b?c)2?3bc，因为b?c?5，所以bc?3 …………12分
13∴S?ABC?bcsinA?3． …………14分
24
22x2y217．（1） ,kF2M??2,kF1M???1 ?F1(?2,0),F2(2,0) ?kOP?2484- 7 -
?直线F2M的方程为：y??2(x?2)，直线F1M的方程为：y?2(x?2) …………4分 4?y??2(x?2)66??由?解得： 点的横坐标为 …………6分 x?M255y?(x?2)??4（2）设P(x0,y0),M(xM,yM)
2212242F1M?2MP?F1M?(x0?c,y0)?(xM?c,yM)?M(x0?c,y0),F2M?(x0?c,y0)
33333332422 PO?F2M，OP?(x0,y0)?(x0?c)x?y?000 333即x02?y02?2cx0…………9分
?x02?y02?2cx0?联立方程得：?x2y2，消去y0得：c2x02?2a2cx0?a2(a2?c2)?0
00?2?2?1b?aa(a?c)a(a?c)解得：x0?或 x0? …………12分
cca(a?c)1 解得：e? ?a?x0?a ?x0??(0,a) ?0?a2?ac?a cc21综上，椭圆离心率e的取值范围为(,1)． …………15分
2318．解：（1）设抛物线的方程为：y??ax2(a?0)，则抛物线过点(10,?)，
23代入抛物线方程解得：a?， …………3分
200令y??6，解得：x??20，则隧道设计的拱宽l是40米； …………5分
992 （2）抛物线最大拱高为h米，h?6，抛物线过点(10,?(h?))，代入抛物线方程得：a?1002992h?l100hl2100h2222x??h，解得：x?令y??h，则?，则()?，h?2………9分
992100l?400h?h?229292ll223l322h?6?2?6 即20?l?40 ?S?lh?l?2?(20?l?40)
l?40033l?400l2?400 ………12分
9l2(l2?400)?3l3?2l3l2(l2?1200)3l2(l?203)(l?203)?S'???(l2?400)2(l2?400)2(l2?400)2 h?当20?l?203时，S'?0；当203?l?40时，S'?0，即S在(20,203)上单调减，在(203,40]27上单调增，?S在l?203时取得最小值，此时l?203，h?
427答：当拱高为米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小． ………15分
419．解：（1）f(x)?(2x2?x?2)ex，则f'(x)?(2x2?5x?3)ex?(x?1)(2x?3)ex ………2分
3令f'(x)?0 ，x??1,?
2x 3(??,?) 23? 23(?,?1)2?1 (?1,??) - 8 -