第5讲 函数及其表示

考点集训 【p172】

A组

1．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4}，则从A到B的函数共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】根据函数的定义，集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素和其对应， 从A到B的函数情况如下： ①f(1)＝f(2)＝3； ②f(1)＝f(2)＝4； ③f(1)＝3，f(2)＝4； ④f(1)＝4，f(2)＝3.

因此，从A到B的函数共有4个． 故选D. 【答案】D

2．函数f(x)＝2－x－lg(x－1)的定义域是( ) A．(－∞，2] B．(2，＋∞) C．(1，2] D．(1，＋∞)

??2－x≥0，

【解析】要使函数有意义需满足?解得10，

－1)的定义域是(1，2]．

【答案】C

3．下列函数中，与函数y＝

13

A．y＝

1lnxB．y＝ sinxx定义域相同的函数为( )

xsinxxC．y＝xeD．y＝

x【解析】函数y＝

13

的定义域为{x|x≠0}，

x1函数y＝的定义域为{x|x≠kπ}，排除A；

sinx - 1 -

lnx函数y＝的定义域为{x|x>0}，排除B；

x函数y＝xe的定义域R，排除C；

sinx函数y＝的定义域为{x|x≠0}，故选D.

xx【答案】D

??2x＋1，x≥0，4．已知函数f(x)＝?2且f(x0)＝3，则实数x0的值为( )

?3x，x<0，?

A．－1B．1

1

C．－1或1D．－1或－

3

【解析】由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，得x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x0

＝3，得x0＝1(舍)或x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.

【答案】C

5．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是( )

2

?5?A.?0，?B.[－1，4] ?2?

C．[－5，5] D．[－3，7] 【解析】当x∈[－2，3]时，x＋1∈[－1，4]，所以函数y＝f(x)的定义域是[－1，4]，5令－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤.

2

【答案】A 6．函数y＝

x＋1

的定义域为________________． x??x＋1≥0，x＋1

【解析】y＝中的x满足：?所以－1≤x<0或x>0.

x?x≠0，?

【答案】[－1，0)∪(0，＋∞)

??2，x>0，

7．已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．

?x＋1，x≤0.?

x【解析】由已知，得f(1)＝2，∴f(a)＝－f(1)＝－2， x当x＞0时，f(x)＝2＞1，所以a≤0， 由f(a)＝a＋1＝－2得a＝－3. 【答案】－3

8．(1)已知f(x)是一次函数，且满足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

22

(2)已知函数f(x)＝x，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x－20x＋25，求g(x)的表达式．

【解析】(1)设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋5k＋b＝2x＋17， 因此有k＝2且5k＋b＝17，即有k＝2，b＝7， 所以f(x)＝2x＋7.

(2)由题意可设g(x)＝ax＋b(a>0)，

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∵f(g(x))＝4x－20x＋25，

22

∴(ax＋b)＝4x－20x＋25，

2222

即ax＋2abx＋b＝4x－20x＋25， ∴a＝2，b＝－5，∴g(x)＝2x－5. B组

1．若函数f(x)如下表所示：

2

x f(x) 0 3 1 2 2 1 3 0 则f(f(1))＝( ) A．0B．1C．2D．3

【解析】由表可知，f(1)＝2，而f(2)＝1， 所以f(f(1))＝f(2)＝1. 【答案】B

2．某客运公司确定票价的方法是：如果行程不超过100千米，票价每千米0.5元；如果行程超过100千米，超过的部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系是____________________．

【解析】当0≤x≤100时，y＝0.5x；

当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x，

??0.5x，0≤x≤100，∴y＝?

?10＋0.4x，x>100.??0.5x，0≤x≤100，?【答案】y＝?

??10＋0.4x，x>100

3．已知函数f(x)＝(x＋a)＋3，对任意x∈R，都有f(1＋x)＝6－f(1－x)，则f(2)＋

f(－2)＝____________．

【解析】令x＝0，知f(1)＝6－f(1)，∴f(1)＝3，

3

∴f(1)＝(1＋a)＋3＝3，∴a＝－1，

3

∴f(x)＝(x－1)＋3，

∴f(2)＋f(－2)＝－20，故答案为－20. 【答案】－20

4．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)

200与汽车的车速x(千米/时)的关系图．

3

x2

(1)求出y关于x的函数表达式；

(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．

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??【解析】(1)由题意及函数图象，得?

60??＋60m＋n＝18.6，

2

40

＋40m＋n＝8.4，200

2

2002

解得m＝1100，n＝0，所以y＝xx200＋100(x≥0)．

(2)令x2＋x200100≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70.

故行驶的最大速度是70千米/时．

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