设EF＝x，则AE＝2x.

根据勾股定理，得x2＋3＝4x2， 解得x＝1(负值舍去)． ∴AE＝2.

(第19题)

19．如图，两把完全相同的含30°角的三角尺叠放在一起，且∠DAB＝30°.有下列结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG∶GE＝3∶4.其中正确的是①②③(填序号)．

【解】 由题意，得△ADE≌△ACB，

∴∠D＝∠C，∠E＝∠B，∠DAE＝∠CAB＝90°，AD＝AC， ∴∠DAE－∠BAE＝∠CAB－∠BAE， ∴∠CAF＝∠DAG＝30°.

∵∠B＝∠30°，∴∠D＝∠C＝60°，

∴∠AGD＝∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，故①正确． 在△ADG和△ACF中，

?∠DAG＝∠CAF，

∵?AD＝AC， ?∠D＝∠C，

∴△ADG≌△ACF(ASA)，故②正确． ∴AG＝AF. 连结AO.

在Rt△AGO和Rt△AFO中，

?AO＝AO，∵? ?AG＝AF，

∴Rt△AGO≌Rt△AFO(HL)． ∴∠GAO＝∠FAO.

∵∠DAE＝90°，∠DAB＝30°，

∴∠GAF＝60°，∴∠GAO＝∠FAO＝30°， ∴∠AOC＝∠OAB＋∠B＝60°，OA＝OB， ∴△AOC是等边三角形，∴OC＝OA＝OB， ∴O为BC的中点，故③正确．

∵∠E＝30°，∠AGE＝90°，∴AE＝2AG.

设AG＝a，则AE＝2a.由勾股定理，得GE＝3a， ∴AG∶GE＝a∶3a＝1∶3，故④错误． 综上所述，正确的是①②③.

5

20．已知一次函数y＝x－15的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则在△OAB

4

内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点(整点)共有__106__个．导学号：91354038

【解】 易得点A(12，0)，B(0，－15)．

设当x＝n时，在△OAB内部且不在x轴上的整点个数为an.

易得a1＝13，a2＝12，a3＝11，a4＝10，a5＝8，a6＝7，a7＝6，a8＝5，a9＝3，a10＝2，a11＝1. 在坐标轴上的点共有15＋1＋12＝28(个)．

∴整点共有13＋12＋11＋10＋8＋7＋6＋5＋3＋2＋1＋28＝106(个)．

三、解答题(共50分)

?x－2≤0，

21．(6分)(1)解不等式组：?并把它的解在数轴上表示出来．

?2（x－1）＋（3－x）＞0，

【解】 解第一个不等式，得x≤2. 解第二个不等式，得x＞－1. ∴此不等式组的解为－1＜x≤2. 在数轴上表示如解图①所示．

(第21题解①)

2（x＋2）＞3x，??

(2)解不等式组：?3x－1并把它的解在数轴上表示出来．

≥－2，??2【解】 解第一个不等式，得x＜4. 解第二个不等式，得x≥－1. ∴此不等式组的解为－1≤x＜4. 在数轴上表示如解图②所示．

,(第21题解②))

(第22题)

22．(6分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC1

延长线上的一点，且CE＝BC. 2

(1)求ME的长．

(2)求证：△DMC是等腰三角形． 【解】 (1)∵AB＝AC，AM平分∠BAC， 1

∴BM＝CM＝BC＝CE＝3，

2∴ME＝MC＋CE＝3＋3＝6.

(2)∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC. ∵D为AC的中点，∴DM＝DC， ∴△DMC是等腰三角形．

23．(6分)如图，已知∠CDA＝∠AEB＝90°，且CD＝AE，AD＝BE.

(第23题)

(1)求证：AC＝BA.

(2)△ABC是什么三角形？请说明理由．

1

(3)如果AM⊥BC，那么AM＝BC吗？请说明理由．

2【解】 (1)在△ACD和△BAE中， ∵CD＝AE，∠CDA＝∠AEB＝90°，AD＝BE， ∴△ACD≌△BAE(SAS)．∴AC＝BA. (2)△ABC是等腰直角三角形．理由如下： 由(1)知△ACD≌△BAE， ∴AC＝BA，∠CAD＝∠ABE，

∴∠BAC＝180°－∠CAD－∠BAE＝180°－∠ABE－∠BAE＝180°－90°＝90°. ∴△ABC为等腰直角三角形． 1

(3)AM＝BC.理由如下：

2

∵△ABC为等腰直角三角形，且AM⊥BC， 1

∴BM＝CM，∴AM＝BC.

2

24．(10分)某经销商从市场得知如下信息：

进价(元/块) 售价(元/块)

A品牌手表 700 900

B品牌手表 100 160

他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．

(1)试写出y与x之间的函数表达式．

(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解】 (1)由题意，得y＝(900－700)x＋(160－100)(100－x)＝140x＋6000. ∵700x＋100(100－x)≤40000，

解得x≤50，即y＝140x＋6000(0≤x≤50)． (2)令y≥12600，则140x＋6000≥12600， 1

解得x≥47. 7

1

又∵x≤50，∴47≤x≤50，

7∴x可取得48，49，50. ∴经销商有三种进货方案：

方案一，进A品牌手表48块，B品牌手表52块； 方案二，进A品牌手表49块，B品牌手表51块； 方案三，进A品牌手表50块，B品牌手表50块． (3)∵y＝140x＋6000，140>0， ∴y随x增大而增大，

∴当x＝50时，y取得最大值． 又∵140×50＋6000＝13000(元)，

∴选择方案三，即进A品牌手表50块，B品牌手表50块时，经销商获得的利润最大，最大利润是13000元．

25．(10分)【问题提出】

用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】

不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．

【探究一】

(1)用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然只能搭成一种等腰三角形． 所以，当n＝3时，m＝1.

(2)用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n＝4时，m＝0.

(3)用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n＝5时，m＝1.

(4)用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形；若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n＝6时，m＝1. 综上所述，可得表如下： n m

【探究二】

(1)用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形(仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在下表中)? n m

7 2

8 1

9 2

10 2

… …

3 1

4 0

5 1

6 1

(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形(只需把结果填在上表中)?

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 【问题解决】

用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(设n分别等于4k－1，4k，4k＋1，4k＋2，其中k是正整数，把结果填在下表中)? n m

4k－1

【问题应用】

用2018根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形(写出解答过程)?

4k

4k＋1

4k＋2

… …