<10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。

17、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，

R=IA?{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>} 求R诱导的划分。

解：

R诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。

18、A上的偏序关系?的Hasse图如下。

（1） 下列哪些关系式成立：a?b,b?a,c?e,e?f,d?f,c?f；

（2） 分别求出下列集合关于?的极大（小）元、最大（小）元、上（下）

界及上（下）确界（若存在的话）： (a) A; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e} a e f b d c 解：

(1) b?a,c?e,d?f,c?f成立；

(2) (a)的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元；

无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。 (b)的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元；

上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 (c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元；

上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。 (d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元；

上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。

（半群与群部分）

19、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。

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解：

因为|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 个：H，

{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。

20、求下列置换的运算：

解：

?1234??1234??1234?（1）??2431?????4321??=??1342??

???????123456??123456??123456?（2）??452631??=??452631?????452631??

???????123456??123456??123456?=??452631?????635124??=??123456?? ??????3221、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。

解：

设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。

因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G 的阶数的因子，故G的子群只能是1 阶的、2阶的、4 阶的或8阶的。因为|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是该子群中a的最小正幂，故G的所有子群除两个平凡子群外，还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。

22、I上的二元运算*定义为：a*b=a+b-2。试问是循环群吗？?a,b?I，

解：

是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。1和3是它的两个生成元。因为an=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。从而对任一个k?I,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因为1和3 关于*互为逆元，故3 也是的生成元。

23、设是群，a?G。令H={x?G|a·x=x·a}。试证：H 是G 的子群。

证明：

c，d?H，则对?c，d?HK，c·a=a·c,d·a=a·d。故?

(c·d) ·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a) ·d=(a·c) ·d=a·(c·d)。从而c·d?H。

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由于c·a=a·c,且·满足消去律，所以a ·c-1=c-1·a。故c-1?H。 从而H 是G的子群。

24、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。

证明：

设是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1 的只有一个单位元，阶大于2 的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为2 的元素。故偶数阶群中阶为2 的元素一定是奇数个。

25、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。

证明：

设是有限群，则?a?G，有|a|=|a-1|。且当a 阶大于2时，a?a-1。故阶数大于2 的元素成对出现，从而其个数必为偶数。

26、试求中每个元素的阶。

解：

0是中关于+6的单位元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。

27、设是群，a,b?G，a?e，且a4·b=b·a5。试证a·b?b·a。

证明：

用反证法证明。

假设a·b=b·a。则a4·b= a3·（a·b）= a3·(b·a)=(a5·b)·a

=(a2·(a·b))·a=（a2·（b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a) =(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2 =((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2

=b·(a2·a2)=b·a4。

因为a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。 这与已知矛盾。

28、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试证：为群。

证明：

（1）?a,b,c?I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c) =a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。

（2）记e=2。对?a?I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。

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（3）对?a?I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。 综上所述，为群。

29、设为半群，a?S。令Sa={ai | i?I+ }。试证是的子半群。

证明：

c?Sa，则存在k,l?I+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+l?I+，?b，

所以b·c?Sa，即Sa关于运算·封闭。故是的子半群。

30、单位元有惟一逆元。

证明：

设是一个群，e是关于运算?的单位元。 若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。

因为e是关于运算?的单位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。 即单位元有惟一逆元。

31、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e?0。

证明：

用反证法证明。假设e=0。

对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元， 则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。

从而假设错误。即e?0。

32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。

证明：（用反证法证明）

设在素不少于两个的群中存在零元?。对?a?G, 由零元的定义有 a*?=?。

?关于*消去律成立。? a=e。 ? 是群，即G中只有一个元素，这与|G|?2

矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。

33、证明在一个群中单位元是惟一的。

证明：

设e1,e2都是群〈G,*〉的单位元。 则e1=e1*e2=e2。

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