由拉格朗日定理，k是p的正整因子。因为p是素数，故k=p。即a的阶就是p，即群G的阶。故a是G的生成元。

48、若是可交换独异点，T为S中所有等幂元的集合，则是的子独异点。

证明：

? e?e=e，?e?T，即T是S的非空子集。

a,b?T,? 是可交换独异点, ?

?(a?b)?(a?b)=((a?b)?a)?b

=(a?(b?a))?b=（a?(a?b)）?b =((a?a)?b)?b=(a?a)?(b?b) =a?b,即a?b?T。

故是的子独异点。

49、设是群，且a∈G的阶为n，k∈I，则|ak|＝为k和n的最大公因子。

证明：

记p=m|p。

n，其中(k,n)(k,n)nk,q=,｜ak｜＝m。由n和p的定义，显然有(ak)p=e。故m?p且(k,n)(k,n)又由于akm=e，所以由定理5.2.5知，n|km。即p|qm。但p和q 互质，故p|m。 由于p和m都是正整数，所以p=m。即｜ak｜＝

n。 (k,n)50、设是有限群，|G|＝n，则?a∈G，|a|?n。

证明：

2nn+1

?a?G，由封闭性及|G|=n可知a,a,…,a,a中必有相同的元素，不妨设为

ak=am,k

51、设G＝(a)，若G为无限群，则G只有两个生成元a和a-1；

证明：

n-n-1-1-n-1

?b?G＝(a)，则?n?I,使b=a。故b=(a)=(a),从而a也是G的生成元。

若c是G的生成元，则?k,m?I，分别满足c=ak和a=cm。从而c= (cm)k= cmk。

41

若km?1，则由消去律可知c的阶是有限的，这与|G|无限矛盾。从而km=1，即k=1,m=1或k=-1,m=-1。故c=a或c=a-1。

从而G只有两个生成元a和a-1。

52、设G＝(a)，{e}?H?G，am是H中a 的最小正幂，则 （1） H＝(am)；

（2） 若G为无限群，则H也是无限群；

证明：

（1）?b?H, ?k?I, 使得b=ak。令k=mq+r, 0?r

由于0?r

（2）因为{e}?H，故H的生成元为am （m?0）。因为G是无限群，所以a的阶是无限的，从而am的阶也是无限的，故H也是无限群。

53、设G＝(a)，|G|＝n，则对于n 的每一正因子d，有且仅有一个d阶子群。因此n阶循环群的子群的个数恰为 n的正因子数。

证明：

?对n 的每一正因子d，令k=

n,b=ak, H={e,b,b2,…,bd-1}。 d因为|a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。 从而H中的元素是两两不同的，易证H?G。 故|H|=d。所以是G的一个d阶子群。

设H1是G的任一d阶子群。则由定理5.4.4知，H1＝(am)，其中am是H1中a 的最小正幂，且|H|=惟一d阶子群。

nn。因为|H|=d，所以m==k，即H=H1。从而H是G的md?设H是G的惟一的d阶子群。若d=1 ,则结论显然成立。否则H＝(a)，其中am是H中a 的最小正幂。由定理5.4.4知，d=

n。故d是n的一个正因子。 mm

54、设h是从群到的群同态，G1和G2的单位元分别为e1和e2，

42

则

（1） h(e1)=e2；

（2） ?a?G1，h(a-1)=h(a)-1； （3） 若H?G1，则h(H)?G2；

（4） 若h为单一同态，则?a?G1，|h(a)|=|a|。

证明：

(1) 因为h(e1)?h(e1)=h(e1?e1)= h(e1)= e2?h(e1),所以h(e1)=e2。 (2) ?a∈G1，h(a)?h(a-1)=h(a?a-1)= h(e1)= e2, h(a-1)?h(a)=h(a-1?a)= h(e1)= e2,故h(a-1)=h(a)-1。

(3) ?c,d∈h(H),?a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c?d=h(a)?h(b) =h(a?b)。因为H?G，所以a?b ∈H ，故c?d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H，故c-1∈h(H)。由定理5.3.2知h(H)?G2。

(4) 若|a|=n,则an=e1。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)|?n。

设|h(a)|=m,则h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以am=e1。即|a|?m。

故|h(a)|=|a|。

若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h(a)的阶也是无限的。

故结论成立。

55、有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶。

证明：

设|G|=n，?a?G，则|a|=m。令H={e,a,a2,…,am-1}。

则H是G的子群且|H|=m。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的阶能整除G的阶。

56、证明：在同构意义下，只有两个四阶群，且都是循环群。

证明：

在4阶群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的阶只能是1，2或4。阶为

43

1 的元素恰有一个，就是单位元e.

若G有一个4阶元素，不妨设为a，则G=（a）,即G是循环群 ，从而是可交换群。

若G没有4阶元素，则除单位元e外，G的其余3个阶均为2。不妨记为a,b,c。因为a,b,c的阶均为2，故a-1=a,b-1=b,c-1=c。从而a?b?a, a?b?b, a?b?e,故a?b=c。同理可得a?c=c?a=b, c?b=b?c=a, b?a=c。

57、在一个群中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。

证明：

因为| a |=k，所以ak=e。即（a-1）k=(ak)-1=e。 从而a-1的阶是有限的，且|a-1|?k。 同理可证，a的阶小于等于|a-1|。 故a-1的阶也是k。

58、在一个群中，若A和B 都是G的子群。若A?B=G，则A=G或B=G。

证明：

用反证法证明。

若A?G且B?G，则有a?A,a?B且b?B,b?A。因为A，B都是G的子群，故a,b?G，从而a*b?G。

因为a?A,所以a?1?A。若a*b?A,则b= a?1*(a*b)?A，这与a?B矛盾。从而a*b?A。

同理可证a*b?B。

综合可得a*b?A?B=G，这与已知矛盾。从而假设错误，得证A=G或B=G。

59、设e是奇数阶交换群的单位元，则G的所有元素之积为e。

证明：

设G=<{e,a1,a2,…,a2n},*>，n为正整数。

因为G的阶数为奇数2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 阶元素，即除了单位元e以外，G的所有元素的阶都大于2。故对G中的任一非单位元a，它的逆元a?1不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。

由此可见，G中的2n个非单位元构成互为逆元的n对元素。因为G 是交换群，

44