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例15、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）

A、6 B、8 C、16 D、26 解：青蛙从A点开始，往相邻两个顶点B和F跳到D点的次数是相同的，又青蛙第一次往B方向跳的跳法可用“树型图”表示如图.由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种），故选（D）. 注：此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观，应熟练掌握.

5、回归法：有些计数模型不一定是排列或组合问题，此时可回归到最原始的方法，即画一画，数一数，算一算，这是最基本的计数方法，不可废弃.

例16、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、平、负的情况共有（ ） A .3种 B. 4种 C. 5种 D .6种

分析：数一数，算一算，知最多胜11场.按胜、平、负的顺序，共有三种情形：11、0、4；10、3、2；9、6、0；故选A .

从以上的实例可以看出，解决排列组合问题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）先不考虑限制条件，计算出总的种类数，再减去不合要求的种类数.其解题思路可概括为：审明题意，排组分清；分类分步，明确加乘；元素位置，特殊先行；直接间接，思路可循；周密思考，检验伪真.另外，在学习过程中注意解题经验与方法的归纳总结与积累，掌握一些常见题型的解题策略和方法也是十分必要.

第二部分：二项式定理的类型与解题策略

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，在高中数学中起承上启下的作用——既可对多项式的知识起到很好的复习、深化作用，又可为进一步学习概率统计作好必要的知识储备.此内容几乎年年都考，考查的题型主要是选择和填空题，一般是中等难度的试题，但有时综合解答题中也涉及到二项式定理的应用.其主要题型有以下几类：

一、求特殊项：此类问题一般由通项入手，根据题意，设未知数，建立方程求解. 例1、⑴已知(x?124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则展

9

开式中所有的有理项为 ；⑵(x－1)的展开式中系数最大的项为 ；⑶(?的展开式中的常数项为 .

x21?2)5x解：⑴依题意，有2Cn?()?1?Cn?()，即n?9n?8?0，解得n＝8或n＝1（舍去），?Tr?1?C(x)r88?r3rC8r16?4，若T(?4)?(?1)rxr?1为有理数，当且仅当22x112212221rr16?3r为整数，?0?r?8，r?Z，?r?0,4,8， 45

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即展开式中的有理项共有三项：T1?x，T5?4351?2x，T9?x； 82564

5

45r9?rr⑵Tr＋1＝(?1)C9x，∵C9?C9?126，而(－1)＝1，(－1)＝－1，

∴ T5＝126x是所求系数最大的项.

5

x1x2?22x?25[(x?2)2]5(x?2)105⑶解： ∵(??2)=(， )??552x2x(2x)(2x)对于二项式(x?2)10，其通项为Tr?1?C10x10?r22，要得到原展开式中的常数项，

r1r则只须10?r?5，即r?5，∴所求常数项为

C52105225?632. 2二、求二项式系数或展开式中某项的系数

3例2、（1）(1?x)?(1?x)???(1?x)展开式中，x项的系数为_______；

432⑵设?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??A0x?A1x?A2x?A3x?A4，则 A2? ，A3? ；

27⑶(x＋2)(x－1)的展开式中x的系数为 ；⑷求(x?1?)的展开式中含x的项；

10

2

10

1x5⑸(x?2y?z) 展开式中 xyz系数为_______.

333解：⑴x项系数为 C3?C4?3?C7?C84?70；

94232 ⑵A2即x系数， 即 A2?a1(a2?a3?a4)?a2(a3?a4)?a3a4?a1a2?a1a3?a1a4＋

?a2a3?a2a4?a3a4 ， 即从{a1,a2,a3,a4}中取两元的所有组合的和.

同理可得A3?a1a2a3?a1a2a4?a1a3a4?a2a3a4；

⑶先展开，然后按多项式乘法法则求解.∵ (x＋2)＝x＋20x＋180x＋… ∴ (x＋2)(x－1)的展开式中x的系数是－1＋180＝179； ⑷解：∵(x?1?)?10

2

10

10

10

9

8

1x51[(x2?x)?1]5，∴要求展开式中含x的项，只须求5x[(x2?x)?1]5中含x6的项.将其展开知，只有(x2?x)5、5(x2?x)4和10(x2?x)3中才有

66可能含有x的项.又(x?x)?x(x?1)，其展开式中x的系数为

2555C45?5；

233365(x2?x)4?5x4(x?1)4，其展开式中x的系数为5C4?30；10(x?x)?10x(x?1)，

2其展开式中x的系数为10；∴(x?1?)展开式中含x的项为(5?30?10)x?45x.

⑸（回归课本，用组合的意义解）由题意知有4个括号取x，余下5括号取2y，再从余

42233423下3个括号取z，于是得xyz系数为C9C52C3(?1)??5040.

61x5三、求多项式展开式中的各项的系数和或某些项系数和

10925例3、⑴已知(3x?2x?1)?a10x?a9x??a1x?a0， 求

(a0?a2?a4?a6?a8?a10)2?(a1?a3?a5?a7?a9)2；

⑵求 (x?3y?2z)100 展开式的各项系数之和.

6

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解：⑴令 x=1, 得 a0?a1?a2??a10?25，

5令 x=－1, 得 (a0?a2?a4?a6?a8?a10)?(a1?a3?a5?a7?a9)?6,

?(a0?a2?a4?a6?a8?a10)2?(a1?a3?a5?a7?a9)2?25?65?125；

⑵令x=y=z=1，得 (1?3?2)四、求相关元素

100?0，即展开式系数之和为0.

xn1)的展开式中x3的系数为，则n＝________； n16310⑵(a?b?c)展开式的项数有____项；⑶(x1?x2??x10)展开式的项数为____；

例4、⑴设n?N*，(1??ax?93⑷已知??展开式中x系数为，则常数a的值为______. ??x2?4??解：⑴由Tr?1?Cn()x，则x的系数为Cn解得n＝4.

r91nrr3311n(n?1)(n?2)1，即??， 331616n6n10}，此时，项数

2问题转化为方程的非负整数解个数问题，方程非负整数解个数有C12?66，故展开式有66

项.

⑶法1、展开式中的项的形式为x11x22x33iii⑵展开式中的项的形式为 abc 且i+j+h=10 , i,j,h?{0,1,2,ijhx10i10 , 且 i1?i2??i10?3, 且

i1,i293i10?{0,1,2,3}， 类似（1），得项数为 C12?C12?220.

法2、展开式中的项的形式有三种类型 xiyjzh;xi2yj;xi3,其中i,j,h?{1,2,3213 则项数为C10?2C10?C10?C12?220.

,10}，

⑷通项Tr?1??9??C9??x?r9?r?x?2?(32r?9)3rr9?r?????a?x，令?9?3， ????2?C9?2?2????rrr2?9a9r9?r?a?得 r?8 ，故 C9??2???16?4，得a=4.

??例5、（1）已知(ax＋1)（a≠0）的展开式中，x的系数是x的系数与x的系数的等差

中项，求a的值；

（2）已知(2x＋x值．

523443解：（1）依题意C7a?C7a?2C7a，由于a≠0，解得a＝1±

7

3

2

4

1gx)的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的

8

10； 544lgx44(1＋lgx)

(2) 依题意T5＝C8(2x)(x)＝1120，整理得x＝1，两边取对数，得

lgx＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1，∴x＝1或x＝

第三部分：训练精编

一、选择题

2

1. 101、由数字1、2、3组成的五位数中，1、2、3都至少出现一次，则这样的五位数的个

7

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数为（ ）

A、150 B、240 C、180 D、236

2、四个完全相同的红球与五个完全相同的白球放入三个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放一个红球和一个白球，则不同的放法种数为（ ） A、12 B、18 C、24 D、27

3、上海世博会组委会要将7名精通英语的大学生志愿者（含甲、乙）分配到美国馆、英国馆和印度馆去负责翻译工作，其中美国馆3人，英国馆和印度馆各2人，若甲、乙两人要求分在同一组，则不同的分配方案有（ ）

A、40种 B、50种 C、100种 D、120种

4、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不能左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） ．．

A、234

B、346

C、350

D、363

5、六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中任取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）

A、180 B、60 C、93 D、126

6、6个人并排站成一排，B站在A的右边，C站在B的右边，则不同的排法总数为（ ）

3463434A．A3A4 B．A4 C．A6?A3 D．A4A5

7、把八件不同的纪念品平均赠给甲、乙二人，其中a、b不赠给同一人，c、d也不赠给同一人，则不同的赠送方法有（ ）种

A．20 B．22 C．24 D．25

8、边长为连续整数的钝角三角形的最大边长为n，则(x?)的展开式中常数项为（ ） A、36 B、60 C、54 D、48 9、设a,b,m为整数（m?0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同

1232余，记为a?b(modm).已知a?1?C20?C202?C202?20?C20219，b?a(mod10)，

3xn则b的值可以是（ ）

A．2011 B．2010 C．2009 D．2012

10、有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中，红球甲和黑球乙相邻的排法有（ ）

A、768 B、765 C、687 D、876 11、若等差数列{an}的首项为a1?C5m11?2m?A11?3m(m?N)，公差是(2m?25232n?x)展开式2x5中的常数项，其中n为7777?15除以19的余数，则an=（ ）

A、104?4n B、4n?104 C、104?n D、n?104 12、若(1?x)2n?a0?a1x?a2x2?8

?a2nx2n，令f(n)?a0?a2?a4??a2n，则