习题二
1、利用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0，在 2,3 内根的近似值，并指出误差。 解：f(2)=-1<0 f(3)=19>0 f(2).f(3)<0
f’(x)=3x2-2 在x∈ 2,3 f’(x) >0 所以在 1,2 上必仅有一根 x=2 f(2)=-1 - x=3 f(3)=16 + x=2.5 f(2.5)=5.625 +
x=2.25 f(2.25)=1.890625 + x=2.125 f(2.125) + x=2.0625 f(2.0625) - x=2.09375 f(2.09375) -
x=2.109375 f(2.109375) + x=2.1015625 f(2.1015625) +
所以x=
2.109375+201015625
2
=2.09765625 1
2、证明方程1-x-sinx=0在 0,1 内有一个根，使用二分法求误差不大于2×10?4的根。 解：令f(x)=1-x-sinx
f(0)=1 f(1)=-sin1 f(0).f(1)<0
f’(x)=-1-cosx<0在 0,1 恒成立
所以1-x-sinx=0在 0,1 内恒有一个根 n≥
ln 1?0 ?ln?(×10?4)
ln2
1
2-1≈13.289
所以n=14
nanbnxn+1 f(xn+1)符号
0 0 1 0.5 + 1 0.5 1 0.75 + 2 0.875 1 0.9375 + . . 14
3、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改写成能用迭代法的形式。 （1、）x=(cosx+sinx)/4 (2)x=4-2x 解：（1、）f(x)=x=(cosx+sinx)/4 f’(x)=
?sinx+cosx
4
<1 对x任何数恒成立 所以可用迭代法 设x0=0，则 x1=0.25 x2=0.2511
x3=0.2511
所以x=0.251 （2、）f(x)=4-2x
f’(x)=x.2x?1<0在x为任意数不恒成立 所以不能用迭代法 令x=log2x0=0 x1=2 x2=1 x3=
(4?x)
|φ‘(x)|=|-4?xln2|对x∈(1,2)<2
4、为求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
（1、）x=1+2，迭代公式xk+1=1+2 x
xk
2（2、）x3=1+x2，迭代公式xk+1= 1+xk
3
111
11
(3、)x2=
1x?1
，迭代公式xk+1= 1/（xk?1）
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1、）|φ‘(x)|=|-x3|<1，在x0=1.5附近收敛
（2、）|φ‘(x)|=|232
x1 （x?1）
3 (1+x2)2|<1，在x0=1.5附近收敛
|>1，在x0=1.5不满足局部收敛条件
(3、)|φ‘(x)|=|-2用（2）
K xk 0 1.5
1 1.48124 2 1.47271 3 1.46882 4 1.46705 5 1.46624 6 1.46588 7 1.46571 8 1.46563 9 1.46560 所以x=1.466
125、应用牛顿法解方程x3-a=0，到处求立方根 a的近似公式。
3
解：f(x)=x3-a=0，则 a为方程f(x)=0的根，且f’(x)=3x2
3
所以xn+1=xn-
3x3n?a2xn+a
3x2n
=
3x2n
6、用牛顿法求x3-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，精确到四位有效数字。
解：f(x)=x3-3x-1=0 f’(x)=3x2-3 xn+1=xn-3x3n?3xn?12xn+1
3x2n?3
=3x2?3 n
??0=2
??1=1.8889 ??2=1.8795 ??3=1.8794 ??4=1.8794 所以x=1.879
7、用割线法求x3-3x-1=0在x=2附近实根的近似值，取??0=2，??1=1.9，保留四位有效数字。
解：??0=2，??1=1.9 f(x)=x3-3x-1
xn+1=xn-x3n?3xn?1
3x3n?3xn?1?(xn?1?3xn?1?1)
(xn?xn?1)
x2=1.8811
x3=1.8794 x4=1.8794 所以x=1.879
8、应用牛顿迭代法于方程f(x)=1-2=0，到处求 ??的迭代公式，并用此公式求 115的值。
????
解：f’(x)=??3
????=
33???????1??????1
2??
2??
115≈10.742
令??0=10
??1=10.6521 ??2=10.7231 ??3=10.7238 ??4=10.7238
所以 115近似值10.7238
9、给定函数f(x)，设对于一切x,f’(x)存在且0 的参数θ，迭代格式xk+1=xk-θf(xk),（k=0,1,2…）由任初值??0产生的迭代序列{xk}均收敛于f(x)=0的根。 证明：φ(x)=x-θf’(x) ??′(x)=1-θf’(x) 因为 0 10、研究求 ??的牛顿公式，xk+1=2(xk+x) （??0>0,k=0,1,2…）,证明对于一切k=1,2…，xk≥ ??，且 k 2 1?? 序列是单减的，从而迭代过程收敛。 证明：x=(x+)≥ ?? 2 ??1 ?? 所以xk≥ ?? xk+1-xk=2(???xk) 因为xk≥ ?? 所以?xk≤0 ???? 1?? 所以xk+1-xk≤0 所以序列是单减的 11、已知x=φ(x)在 ??,b 内只有一个根，但|??′(x)|≥k>1,?x∈(a,b),试讨论如何将x=φ(x)化为适于迭代求解的形式。 解：由x=φ(x)在 ??,b 内只有一个根 所以起反函数必然存在 当对x∈f(φ(x))两边求导 1=φ‘（x）f′(x) 所以f′(x)= 1φ‘（x） 当x∈(a,b)时，|φ‘（x）|≥k>1 所以|f′(x)|=所以收敛 1 <1 |φ‘ x |