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第六章 一阶电路

——经典分析法（微分方程描述）

——运算分析法（代数方程描述）见第十三章

一、重点和难点

1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；

2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；

3. 求解一阶电路的三要素方法； 电路初始条件的概念和确定方法； 1. 换路定理（换路规则）

仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。

① 电容元件：uC(0-) = uC(0+)；（即：qC(0-) = qC(0+)）；i C(0-) ≠ i C(0+)。 ② 电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；uC(0-) ≠ uC(0+)。 ③ 电阻元件：uR(0-) ≠ uR(0+)；i R(0-) ≠ i R(0+)。

因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。 2. 画t=0+时刻的等效电路 画t=0+时刻等效电路的规则：

① 对电容元件，如uC(0-) = 0，则把电容元件短路；如uC(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为uC(0-)）

替代电容元件。

② 对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如 i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）

替代电感元件。

画t=0+时刻等效电路的应用：

一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。 3. 时间常数τ

① 物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。仅取决于电路的结构和元件的参数。

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② 几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。

③ 单位：m(秒)、ms(毫秒)。

④ τ的计算：RC电路，τRC = ReqC ；RL电路，τLC =L/Req。

⑤ 注意问题：Req是状态元件两端的等效电阻。如含有受控电源，在求等效电阻时需采用“加压求流法”。

4. 零输入响应（又称放电过程）

所谓零输入响应，即输入信号为零，而是由电路中动态元件的初始值（初始储能）引起的响应。 ① RC电路：uC(t) = uC(0+)e-(1/)t。 ② LC电路：iL(t) = iL(0+)e-(1/)t。 5. 零状态响应（又称充电过程）

所谓零状态响应，即初始状态为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号引起的响应。 ① RC电路：uC(t) = US（1-e-(1/)t）。 ② LC电路：iL(t) = IS（1-e-(1/)t）。 6. 全响应（又称充放电过程）

所谓全响应，即初始状态不为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号和初始值（初始储能）引起的响应。

三要素法：f(t)= f(∝)+[f(0+)- f(∝)] e-(1/)t 或 f(t)= f(0+)e-(1/)t+ f(∝)(1- e-(1/)t)。 ① RC电路：uC(t) = uC(∝)+[uC(0+uC(∝) ]e-(1/)t。 ② LC电路：iL(t) = iL(∝)+[iL(0+)- iL(∝)]e-(1/)t。

以上两个式子是三要素法公式的具体应用。对于非状态变量同样适用。 7. 阶跃响应

所谓单位阶跃响应，就是动态电路对于单位阶跃函数输入[ε(t)]的零状态响应。 所谓阶跃响应，就是动态电路对于阶跃函数输入[Aε(t)]的零状态响应。

理解单位阶跃函数的数学表达形式，以及任意时刻t0的阶跃函数[Aε(t-t0)]，也称为延迟阶跃函数。 单位阶跃函数的主要性质：

① 可以用来“起始”任意一个函数f(t)。 ② 可以用来描述矩形脉冲。

③ 阶跃函数对时间的一阶导数等于冲激函数。

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ττ

τ

τ

τ

ττττ

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单位阶跃响应与直流激励的响应相同。 8. 冲激响应

所谓单位冲激响应，就是动态电路对于单位冲激函数输入[δ(t)]的零状态响应。 所谓冲激响应，就是动态电路对于冲激函数输入[Aδ(t)]的零状态响应。

理解单位冲激函数（又称δ函数）的数学表达形式，以及任意时刻t0的冲激函数[Aδ(t-t0)]。 单位冲激函数的主要性质：

① 单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数。

② 取样性质，即冲激函数可以把一个函数在某一时刻的“筛”出来。

③ 当把一个单位冲激电流[δi(t)A]加到初始电压为零且C = 1F的电容上，其电容电压瞬间从零跃变到1V。

④ 当把一个单位冲激电压[δi(t)V]加到初始电流为零且L = 1H的电感上，其电感电流瞬间从零跃变到1A。

二、典型例题分析

【例题1】：动态电路换路后初始值的求解。

图6.1(a)所示电路在t＜0时电路处于稳态，求t = 0 时闭合开关后电感电压uL (0+)。 解：(1) 首先由图6.1(b) t=0电路求电感电流，此时电感处于短路状态，

－

图6.1(a) 图6.1(b)

(2) 由换路定律得：

iL (0+) = iL (0)= 2A则：

(3) 画出t = 0+时刻的等效电路如图6.1(c) 所示，电感用2A电流源替代，解得：

；而uL(0-)=0V

－

图6.1(c)

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注意：电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：

【例题2】：直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。

图6.2(a)所示电路在t ＜0时处于稳态，t=0时闭合开关，求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+)

图6.2(a) 图6.2（b）

解：(1) 将电路中的电感短路，电容开路，画出t=0-时刻的等效电路如图6.2(b)所示，

则：

；

(2) 画出t=0+等效电路如图6.2(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得： ∵

则：

图6.2(c)

【例题3】：求图6.3(a)所示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。

图6.3(a) 图6.3(b)

解：(1) 把图6.3(a)电路中的电感短路，电容开路，如图6.3(b)所示，则：

(2) 画出t=0+等效电路如图6.3(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：

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